Символьный анализ и диагностика линейных электрических цепей методом схемных определителей. Курганов С.А - 78 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

77
соответствующего элемента матрицы, содержатся его координаты – номера
строки и столбца. Введем функцию совпадения
sim(i,j), равную 1 при i=j и –1
при
i
≠
j. Тогда определитель матрицы A раскрывается рекурсивно по формуле
∆ = sim(i,j) a
ij
∆
ij
(i
→
j) + ∆(a
ij
=0), (1.11.2)
где
∆
ij
(i
→
j) – определитель матрицы, которая задана списком, образованным из
списка матрицы A в результате следующих преобразований: 1) вычеркивания
элементов с номерами строки
i и (или) столбца j; 2) замены номера i в списке
элементов матрицы на номер
j. Если i=j, то второе преобразование не
выполняется.
Выражения определителей, полученные на основе формул (1.11.1) и
(1.11.2), могут различаться только знаками при некоторых подвыражениях и
полностью совпадают при раскрытии скобок. Ниже приведен пример
разложения определителя матрицы третьего порядка по формуле (1.11.2). Для
наглядности список элементов помещен в матрицу.
Пример 1.
a
11
b
12
c
13
det d
21
e
22
f
23
= sim(1,1) a ∆
11
(1→1)
+ sim(1,2) b ∆
12
(1→2) +
g
31
h
32
i
33
+ sim(1,3) c ∆
13
(1→3) =
=
a det e
22
f
23
–
b det d
22
f
23
– cdet d
23
e
22
=
h
32
i
33
g
32
i
33
g
33
h
32
=
a ( sim(2,2) e
i
33
+ sim(2,3) f h
33
) –
–
b ( sim(2,2) d
i
33
+ sim(2,3) f g
33
) –
–
c ( sim(2,3) d
h
33
+ sim(2,2) e g
33
) =
=
a (e i – f h) – b (d i – f g) – c (–d h + e g).
Таким образом, в формуле (1.11.2) операция сложения номеров строки и
столбца заменена операцией сравнения, которая применима не только к
цифровым, но и к буквенным, знаковым и т. д. объектам. Затраты на изменение
пометок объектов несопоставимо меньше тех, которые требуются при
порядковой нумерации строк и столбцов после выделения очередного элемента
матрицы по формуле (1.11.1).
Для доказательства формулы (1.11.2) используется то обстоятельство, что
матрица порядка
n может быть отображена электрической схемой с n
2
источниками тока, управляемыми напряжением, которая имеет n+1 узлов. При
разложении определителя такой схемы используем метод стягивания и

Страницы