ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
76
Начала теории определителей, истоки которой восходят к работе
Готфрида Лейбница 1693 года [2], содержат некоторое методическое
противоречие. С одной стороны, определитель матрицы в виде суммы
отдельных слагаемых можно найти без использования порядковой нумерации
строк и столбцов, применив для этого, например, буквенные обозначения.
С другой стороны, желая получить компактное (вложенное) выражение
определителя с помощью разложения
Лапласа по строке (столбцу) или
нескольким строкам (столбцам), приходится использовать понятие
алгебраического дополнения, которое отличается от соответствующего минора
матрицы знаком, учитывающим порядковые номера строк и столбцов [2, 41].
Для матриц высокой размерности индуктивное построение определителя
оказывается предпочтительным или единственно возможным. Разложение
определителя матрицы
A по некоторому элементу a
ij
(выделение элемента a
ij
)
имеет вид
∆ = (–1)
i+j
a
ij
∆
ij
+ ∆(a
ij
=0), (1.11.1)
где
∆
ij
– минор, то есть определитель матрицы, образованной из матрицы A
путем вычеркивания строки
i и столбца j; ∆(a
ij
=0) – определитель матрицы,
полученной из матрицы
A в результате удаления элемента a
ij
. Формула (1.11.1)
применяется к определителям
∆
ij
и ∆(a
ij
=0) рекурсивно до получения матриц
первого порядка и вырожденных матриц.
Теорема
Лапласа в ее общем или специальных случаях довольно широко
используется при аналитическом решении систем линейных алгебраических
уравнений и формировании ССФ ЛЭЦ[1, 41, 78]. При этом нахождение знака
требует существенной доли в затратах времени на разложение определителей.
Это связано не только и не сколько с наличием дополнительных операций
сложения, а прежде всего, с необходимостью перенумерации строк и столбцов
в результате выделения элементов матриц.
Алгебраическое правило нахождения знака (см. формулу (1.11.1)),
возможно, обладает наглядностью при раскрытии определителей вручную.
Однако в случае матриц высокой размерности, которые имеют, как правило,
высокую разреженность, приходится использовать их списочное кодирование,
задавая списками-множествами только ненулевые элементы. Соответствующие
методы опираются на графовые (топологические) представления и широко
используются в настоящее время при численном решении систем уравнений
[37]. Таким образом, современные технологии решения систем уравнений
фактически отрицают понятие матрицы как таблицы элементов.
При разложении определителя матрицы в символьном (буквенном) виде
также желательно ее представление в виде топологического объекта, в котором
номера строк и столбцов служат лишь для указания расположения элементов и
не должны непосредственно использоваться для вычисления знаков.
Пусть матрица задается списком
P ее ненулевых элементов. В каждом
элементе списка
p
k
, кроме буквенного обозначения или численного значения
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 75
- 76
- 77
- 78
- 79
- …
- следующая ›
- последняя »
