Вычислительные методы для физиков. Часть 1: Аппроксимация функций, численное дифференцирование. Курганский С.И - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

22
+++++≈
+
),...,,()...(),,([!)(
1101010
)(
kkk
k
xxxfxxxfkxf
ααα
...),...,,()...(
21012010
+++++
++ kkk
xxxf
αααααα
)].,...,().........(...
1011110 nnkkkn
xxxf
−+−−
++
αααααα
>ey
k
>
n
.0)(
)(
=
xf
k
2.Nhjfmeuqbke_ggh]h^bnn_j_gpbjh\Zgby^eykemqZyjZ\ghhlklhysbo
maeh\
Ihemqbf nhjfmeu qbke_ggh]h ^bnn_j_gpbjh\Zgby \ kemqZ_ dh]^Z maeu
bgl_jiheypbb nmgdpbb
)(xf
jZkiheh`_gu jZ\ghf_jgh gZ hlj_ad_
[]
ba,.
JZkklhygb_ f_`^m ex[ufb ^\mfy maeZfb
i
x
b
1−i
x
h[hagZqbf
h
 Imklv
agZq_gby nmgdpbb
)(xf
ba\_klgu \ lj_o lhqdZo
n = 2):
.)(,)(,)(
221100
yxfyxfyxf
===
Bgl_jihebjmxsmx nmgdpbx
)(x
ϕ
ij_^klZ\bf\\b^_d\Z^jZlbqgh]hihebghfZGvxlhgZLh]^Z
=+=
)()()( xRxxf
ϕ
)())()(,,())(,()(
102100100
xRxxxxxxxfxxxxfxf
+−−+−+=
. (2.1)
Ijh^bnn_j_gpbjm_f\ujZ`_gb_ih
x:
).(')2)(,,(),()('
1021010
xRxxxxxxfxxfxf
+−−+=
(2.2)
A^_kv
,/)()/())()((),(
01010110
hyyxxxfxfxxf
−=−−=
).2/()2()/()),(),((),,(
2
012021021210
hyyyxxxxfxxfxxxf
+−=−−=
(2.3)
Ih^klZ\bf\
).(')2/()2)(2(/)()('
2
1001201
xRhxxxyyyhyyxf
+−−+−+−=
(2.4)
HklZlhqgucqe_g\nhjfme_GvxlhgZ
,)(
)!1(
)(
)(
0
)1(
∏
=
+
−
+
=
n
i
i
n
n
xx
n
f
xR
ξ
[]
n
xx ,
0
∈
ξ
.
>eybgl_jiheypbbihlj_fmaeZf
n
 Hlkx^Ze_]dhihemqblvijhba\h^gmx
hklZlhqgh]hqe_gZ\nhjfme_ 
                                                                 22
            f   (k )
                       ( x) ≈k![ f ( x 0 , x1 , x k ) +(α 0 +α1 +... +α k ) f ( x 0 , x1 ,..., x k +1 ) +
                             +(α 0α1 +α 0α 2 +... +α k α k +1 ) f ( x 0 , x1 ,..., x k +2 ) +...
                             ... +(α 0α1 ...α n −k −1 +...α k α k +1 ...α n −1 ) f ( x 0 , x1 ,...x n )].

�����k > n             f   (k )
                                  ( x) =0.

2.���������� �������������������������������������������������������
                               �����
        �������� �������� ����������� ������������������ �� �������� ������ �����
������������� �������� f (x) � ������������ ����������� ��� �������� [a, b].
����������� ������ ������� ������ ������� xi � �� x i −1 � ���������� h�� ������
��������� �������� f (x) � ��������� �� ����� ������� �n = 2):
 f ( x 0 ) = y 0 , f ( x1 ) = y1 , f ( x 2 ) = y 2 . � ���������������� �������� ϕ (x)
��������������������������������������������������������

     f ( x) =ϕ ( x) +R( x) =
      = f ( x 0 ) + f ( x 0 , x1 )( x −x 0 ) + f ( x 0 , x1 , x 2 )( x −x 0 )( x −x1 ) +R( x) .             (2.1)

     �������������������������������������x:

                           f ' ( x ) = f ( x 0 , x1 ) + f ( x 0 , x1 , x 2 )(2 x −x 0 −x1 ) +R ' ( x ).     (2.2)
�����
                             f ( x 0 , x1 ) =( f ( x1 ) − f ( x 0 )) /( x1 −x 0 ) =( y1 − y 0 ) / h,

  f ( x 0 , x1 , x 2 ) =( f ( x1 , x 2 ) − f ( x 0 , x1 )) /( x 2 −x 0 ) =( y 2 −2 y1 + y 0 ) /(2h 2 ).     (2.3)

������������������������

        f ' ( x ) =( y1 − y 0 ) / h +( y 2 −2 y1 + y 0 )(2 x −x 0 −x1 ) /( 2h 2 ) +R ' ( x).                (2.4)

 ����������������������������������

                                                  ( n +1)
                                              f        (ξ ) n
                                  Rn ( x) =                ∏ ( x −xi ),               ξ ∈[x 0 , x n ].
                                                  (n +1)! i =0

��������������������������������n����������������������������������������
����������������������������������

Страницы