Математика. Курзина В.М - 27 стр.

                                         27

                         ∆1         ∆              ∆
                             , x 2 = 2 , ..., x n = n .
                            x1 =
                          ∆          ∆              ∆
     Если главный определитель системы равен нулю, а какой-то из
вспомогательных определителей не равен нулю, то система не имеет ре-
шений.
     Если и главный определитель и все вспомогательные определители
системы равны нулю, то система имеет множество решений..
     Пример 1.4.2. Решим систему уравнений
                            ⎧ x1 + x 2 = 3;
                            ⎨
                            ⎩3 x1 + 5 x 2 = 13.

       1 1                     3 1                      1 3
  ∆=       = 5 − 3 = 2; ∆ 1 =      = 15 − 13 = 2; ∆ 2 =      = 13 − 9 = 4 ⇒
       3 5                    13 5                      3 13

                                  ∆1 2          ∆   4
                           x1 =     = = 1; x 2 = 2 = = 2.
                                  ∆ 2            ∆ 2

      Метод умножения на обратную матрицу использует матричную
форму записи системы линейных алгебраических уравнений и решение
получается по формуле
                                      X = A −1 B ,
где A −1 − обратная матрица для матрицы коэффициентов системы,
    B − матрица-столбец свободных членов системы уравнений.
      Пример 1.4.3. Решим систему уравнений
                               ⎧ 2 x1 + x 2 = 6;
                               ⎨
                               ⎩ x1 + 4 x 2 = 10.

     ⎛ 2 1⎞        ⎛6⎞        2 1
A = ⎜⎜    ⎟⎟; B = ⎜⎜ ⎟⎟ ⇒ ∆ =     = 8 − 1 = 7; A11 = 4; A12 = −1; A21 = −1; A22 = 2 ⇒
     ⎝1 4⎠         ⎝10 ⎠      1 4


                      1       1 ⎛ 4 − 1⎞ ⎛⎜ 4 7 − 1 7 ⎞⎟
             A −1 =     ⋅ A′ = ⋅ ⎜⎜      ⎟=              ⇒
                      ∆       7 ⎝ − 1 2 ⎟⎠ ⎜ − 1 2 ⎟
                                            ⎝ 7    7 ⎠


                     ⎛ 4   − 1 ⎞⎛ 6 ⎞ ⎛ 24 7 − 10 ⎞ ⎛ 2 ⎞
             X =A B= ⎜−1 7    7 ⎟⎜ ⎟ = ⎜         7 ⎟ = ⎜ ⎟.
                     ⎜−1    2 ⎟⎜⎝10 ⎟⎠ ⎜ − 6 + 20 ⎟ ⎜⎝ 2 ⎟⎠
                     ⎝ 7      7⎠       ⎝    7    7⎠