Математика. Курзина В.М - 25 стр.

                                         25

ной системы, то их сумма, вектор x + y = ( x1 + y1 , x 2 + y 2 ,..., x n + y n ) ,
также является решением однородной системы.
      Для решения систем линейных уравнений применяют методы Гаус-
са, Крамера и метод умножения на обратную матрицу.
      Метод Гаусса также называется методом исключения переменных.
Основная идея этого метода состоит в том, чтобы привести заданную сис-
тему линейных алгебраических уравнений путём применения элементар-
ных преобразований к треугольному виду, исключая последовательно пе-
ременные так, чтобы в одном из уравнений осталась только одна из базис-
ных (зависимых от свободных) неизвестных переменных. Её определяют, а
затем по ней находят и все остальные базисные переменные.
      Метод Гаусса состоит из прямого и обратного ходов.
      Прямой ход заключается в приведении заданной системы уравнений
путем элементарных преобразований к эквивалентной ей системе ступен-
чатого вида. В этом виде систему можно исследовать на совместность. Ес-
ли система имеет решение, то обратным ходом метода Гаусса это решение
находится.
      Пример 1.4.1. Решим систему уравнений
                    ⎧ x1 + x 2 + 2 x3 − x 4 − x5 = 0;
                    ⎪ x + 2 x + 3 x − 2 x − 3 x = 0;
                    ⎪⎪ 1         2      3       4      5

                     ⎨ 2 x1 − 3 x 2 + x3 + x 4 − x5 = 0;
                     ⎪ x + x − x − x − x = 0;
                     ⎪      1      2    3     4     5
                     ⎪⎩2 x1 + 2 x 2 − 2 x3 − 2 x 4 − 2 x5 = 0.
      Сначала приведем элементарными преобразованиями строк матрицу
этой системы к ступенчатому виду. Преобразовывать будем не саму сис-
тему уравнений, а соответствующую её матрицу коэффициентов:

              ⎛1 1   2 − 1 − 1⎞ ⎛1 1      2 − 1 − 1⎞
              ⎜                ⎟ ⎜                  ⎟
              ⎜1 2   3 − 2 − 1⎟ ⎜0 1      1 −1 0 ⎟
              ⎜2 − 3 1   1 − 1⎟ → ⎜0 − 5 − 3 3   1 ⎟→
              ⎜                ⎟ ⎜                  ⎟
              ⎜1 1 − 1 − 1 − 1⎟ ⎜0 0 − 3 0       0⎟
              ⎜ 2 2 − 2 − 2 − 2⎟ ⎜0 0 − 6 0      0 ⎟⎠
              ⎝                ⎠ ⎝

               ⎛1    1 2 − 1 − 1⎞ ⎛ 1 1                 2 −1 −1 ⎞
               ⎜                 ⎟ ⎜                               ⎟
               ⎜0    1 1 −1 0 ⎟ ⎜0 1                    1 −1 0 ⎟
             → ⎜0    0 2 − 2 1 ⎟ → ⎜0 0                 2 −2 1 ⎟→
               ⎜                 ⎟ ⎜                               ⎟
               ⎜0    0 −3 0   0 ⎟ ⎜0 0                  0 − 3 3 / 2⎟
               ⎜0    0 −6 0   0 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0               0 − 6 3 ⎟⎠
               ⎝