Математика. Курзина В.М - 26 стр.

                                            26

               ⎛1      1   2 −1 −1 ⎞
               ⎜                      ⎟
               ⎜0      1   1 −1 0 ⎟
             → ⎜0      0   2 − 2 1 ⎟ = B.
               ⎜                      ⎟
               ⎜0      0   0 − 3 3 / 2⎟
               ⎜0      0   0 0    0 ⎟⎠
               ⎝

      Соответствующая полученной ступенчатой матрице система линей-
ных алгебраических уравнений из пяти уравнений относительно пяти не-
известных имеет вид:

                                    ⎧ x1 + x 2 + 2 x 3 − x 4 − x 5 = 0;
                                    ⎪      x 2 + x 3 − x 4 = 0;
                                    ⎪⎪
                                     ⎨          4 x 3 − x 4 + x5 = 0;
                                     ⎪           − 3 x 4 + 3 / 2 x 5 = 0;
                                     ⎪
                                     ⎪⎩             0 = 0.

      Прямой ход метода Гаусса закончен и по виду системы можно за-
ключить, что пятое уравнение оказалось линейно зависимым от первых че-
тырех; таким образом, ранг матрицы системы уравнений равен 4. Это зна-
чит, что одно из переменных, например х5, можно выбрать в качестве сво-
бодной переменной, т.е. считать её произвольно изменяемым параметром,
и выразить через неё все остальные переменные. Это позволит получить
всё множество решений данной системы. Итак, произведём обратный ход
метода Гаусса, последовательно подставляя в уравнения получающиеся
значения переменных, начиная с последнего уравнения:

− 3x 4 = −3 / 2 x5 ⇔ x 4 = 0,5 x5 ⇒ 4 x3 − 0,5 x5 + x5 = 0 ⇔ x3 = −0,125 x5 ; ⇒
              x 2 − 0,125 x 5 − 0,5 x5 = 0 ⇔ x 2 = 0,625 x 5 ; ⇒
             x1 + 0,625 x 5 − 0,25 x 5 − 0,5 x 5 − x 5 = 0 ⇔       x1 = 1,125 x 5 .

      Итак, решение системы уравнений имеет вид
               x = ( 1,125 x 5 ; 0,625 x 5 ; − 0,125; 0,5 x 5 ; x 5 ),
или x = ( 1, 125; 0,625; − 0,125; 0,5; 1) при x 5 = 1 ; x = ( 5; 2,5; − 0, 5; 2; 5) при
x 5 = 4. Система имеет множество решений.
       Метод Крамера основан на применении теоремы Крамера:
       Если главный определитель системы линейных алгебраических урав-
нений ∆ не равен нулю, то системы имеет единственное решение и оно
определяется через вспомогательные определители ситемы по формулам