Математика. Курзина В.М - 24 стр.

                                         24


      Числа a ij (i = 1,..., m;   j = 1,..., n) называются коэффициентами при
переменных, x j ( j = 1,..., n) − неизвестными или переменными, а bi (i
=1,..., m) − свободными членами уравнений.
        Совокупность чисел (k1 ; k 2 ;...; k n ) называется решением системы,
если при подстановке их вместо переменных во все уравнения системы
получаются верные равенства.
        Система линейных уравнений называется несовместной, если у нее
нет ни одного решения, и совместной, если она имеет хотя бы одно реше-
ние. Совместная система уравнений, имеющая только одно решение, назы-
вается определенной, а более одного − неопределенной.
        Уравнения системы называются независимыми, если не существует
таких постоянных, из которых хотя бы одна отличалось от нуля, чтобы ли-
нейная комбинация уравнений системы с этими постоянными обращалась
в нуль. В противном случае уравнения системы будут зависимыми.
        Две системы линейных уравнений называются эквивалентными
(равносильными), если все решения одной системы уравнений являются
решениями другой, и наоборот.
        Матрицей системы уравнений называется матрица, составленная
из коэффициентов при ее переменных. Расширенной матрицей системы
называется матрица, составленная из столбцов коэффициентов при пере-
менных и столбца свободных членов уравнений.
        Определителем системы n линейных уравнений с n переменными
называется определитель, элементами которого являются коэффициенты
при ее переменных. Его же называют главным определителем системы в
отличие от вспомогательных определителей, которые получаются из глав-
ного заменой в нем одного из столбцов столбцом свободных членов систе-
мы уравнений.
        Если хотя бы один из свободных членов уравнений системы уравне-
ний отличен от нуля, система называется неоднородной. Если все свобод-
ные члены уравнений системы равны нулю, система называется однород-
ной.
        Если к некоторому уравнению системы прибавить другое, умножен-
ное на число, то решения системы не меняются. При перестановке двух
уравнений системы ее решения также не меняются. Таким образом, при
элементарных преобразованиях уравнений системы получается система
линейных алгебраических уравнений, эквивалентная первоначальной.
        Однородная система уравнений всегда совместна. Причем, если век-
тор x = ( x1 , x 2 ,..., x n ) − решение однородной системы, α − некоторое чис-
ло, то и вектор α x − решение однородной системы. Если векторы
 x = ( x1 , x 2 ,..., x n ) и y = ( y1 , y 2 ,..., y n ) − два различных решения однород-