Математика. Курзина В.М - 277 стр.

                                          277

      Координаты вектора в старом базисе связаны с его координатами в
новом базисе следующим образом: х = Uх′ , где х и х′ − столбцы координат
вектора x в старом и новом базисах соответственно. Нам заданы коорди-
наты вектора в новом базисе e , то есть в матричном виде получаем реше-
ние задачи, умножая друг на друга соответствующие матрицы:

                     ⎛ x ⎞ ⎛1 1 ⎞ ⎛ x1′ ⎞ ⎛1 1 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 4 ⎞
                х = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ = ⎜⎜    ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜     ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ .
                     ⎝ x 2 ⎠ ⎝1 − 2 ⎠ ⎝ x 2′ ⎠ ⎝1 − 2 ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎝ 1 ⎠

                  Пример выполнения третьего задания

       Задание. Заданы векторы
               x 1 = (2, 3, 2) , x 2 = (−1, 0, −1) , x 3 = (2, 2, 2).
Выясните, является ли система этих векторов линейно зависимой. Если
система линейно зависима, то найдите зависимость между векторами (ну-
левую нетривиальную комбинацию векторов).
      Решение. Составим матрицу из координат векторов x 1, x 2 , x 3 , за-
писав координаты каждого из векторов в столбец матрицы с тем же номе-
ром, что и номер вектора:
                                        ⎛ 2 −1 2⎞
                                        ⎜           ⎟
                                   А = ⎜ 3 0 2⎟ .
                                        ⎜ 2 −1 2⎟
                                        ⎝           ⎠
      Если определитель матрицы А отличен от нуля, то векторы x 1, x 2 ,
x 3 линейно независимы, в противном случае можно составить нулевую не-
тривиальную комбинацию этих векторов, т. е. линейную комбинацию,
равную нулю и имеющую коэффициенты, не все равные нулю. Итак, вы-
числим определитель матрицы А:

                             2 −1 2
                   det А = 3      0     2 = − 6 − 4 + 4 + 6 = 0.
                         2 −1 2
Определитель равен нулю, следовательно, векторы x 1, x 2 , x 3 ⎯ линейно
зависимы. Найдем нетривиальную линейную комбинацию этих векторов
равную нулю.
     Пусть α1, α2, α3 ⎯ неизвестные постоянные, для которых нетриви-
альная линейная комбинация векторов x 1, x 2 , x 3 равна нулю, т. е. выпол-
няется равенство
                          α1 x 1 + α2 x 2+ α3 x 3 = 0 ,
откуда получаем после подстановки векторов в их координатном виде