Математика. Курзина В.М - 303 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

303
)4cos164sin16(2
543
xCxCeC
x
−−
+2(
xCxCeC
x
4sin44cos4
543
−+
) +
+3( xCxCeC
x
4cos4sin
543
++ ) = .4cos
x
e
x
+
Раскрывая скобки и приводя подобные члены, перепишем последнее урав-
нение в виде равенства
.04cos)1813(4sin)813()17(
45543
=−+−+−−+− xCCxCCeC
x
Поскольку функции xxe
x
4cos,4sin, являются линейно независи-
мыми функциями, то для выполнения последнего равенства необходимо и
достаточно, чтобы все скобки обращались в нуль, то есть справедливы
равенства
7С
3
−1= 0; −13С
4
− 8С
5
= 0; −13С
5
+8С
4
−1= 0,
разрешая которые получаем значения произвольных постоянных:
С
3
= 1/7; С
4
= 8/233; С
5
= − 13/233.
Следовательно, частное решение неоднородного линейного диффе-
ренциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициента-
ми запишется в виде
xx
e
y
x
4cos
233
13
4sin
233
8
7
1
−+= ,
а общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения
второго порядка с постоянными коэффициентами в виде
xCxCey
x
2
2
cos
2
2
sin(
21
+=
−
) + xx
e
x
4cos
233
13
4sin
233
8
7
−+ .
Определим, при каких значениях постоянных С
1
и С
2
частное реше-
ние неоднородного уравнения удовлетворяет условиям задачи Коши, то
есть используем условие задачи, что при
.0;1;0 =
′
=
=
yyx
Подставив х
= 0 в выражения для у и у′, получим два уравнения относительно перемен-
ных С
1
и С
2
:
;1
233
13
7
1
2
=−+C ,0
233
32
7
1
2
1
=++C
откуда следует, что С
2
=
1631
1489
; С
1
=
21631
237
−
.
Частное решение неоднородного дифференциального уравнения с
постоянными коэффициентами, соответствующее полученным значениям
постоянных на основании ранее приведенного представления общего ре-
шения неоднородного уравнения, записывается в виде
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
−
xxey
x
2
2
cos
21631
237
2
2
sin
1631
1489
+
xx
e
x
4cos
233
13
4sin
233
8
7
−+ .
Очевидно, что при других условиях задачи Коши будет получено
другое, вообще говоря, отличное от приведенного частное решение диф-
                                             303

      2(C 3 e x − 16C 4 sin 4 x − 16C 5 cos 4 x) +2( C 3 e x + 4C 4 cos 4 x − 4C 5 sin 4 x ) +
     +3( C 3 e x + C 4 sin 4 x + C 5 cos 4 x ) = e x + cos 4 x.
Раскрывая скобки и приводя подобные члены, перепишем последнее урав-
нение в виде равенства
       (7C 3 − 1)e x + (−13C 4 − 8C 5 ) sin 4 x + (−13C 5 + 8C 4 − 1) cos 4 x = 0.
      Поскольку функции e x , sin 4 x, cos 4 x являются линейно независи-
мыми функциями, то для выполнения последнего равенства необходимо и
достаточно, чтобы все скобки обращались в нуль, то есть справедливы
равенства
                 7С3 −1= 0; −13С4 − 8С5 = 0;               −13С5 +8С4 −1= 0,
разрешая которые получаем значения произвольных постоянных:
                       С3 = 1/7; С4 = 8/233; С5 = − 13/233.
      Следовательно, частное решение неоднородного линейного диффе-
ренциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициента-
ми запишется в виде
                                  ex      8             13
                             y1 =     +      sin 4 x −      cos 4 x ,
                                   7 233                233
а общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения
второго порядка с постоянными коэффициентами в виде
             −x          2                2      ex      8              13
       y = e (C1 sin       x + C 2 cos      x) +      +      sin 4 x −       cos 4 x .
                        2                2        7 233                 233
      Определим, при каких значениях постоянных С1 и С2 частное реше-
ние неоднородного уравнения удовлетворяет условиям задачи Коши, то
есть используем условие задачи, что при x = 0; y = 1; y ′ = 0. Подставив х
= 0 в выражения для у и у′, получим два уравнения относительно перемен-
ных С1 и С2:
                           1 13                          1 32
                     C2 + −         = 1;        2C1 + +            = 0,
                           7 233                         7 233
                                1489                  237
откуда следует, что С2 =              ; С1 = −               .
                                1631               1631 2
      Частное решение неоднородного дифференциального уравнения с
постоянными коэффициентами, соответствующее полученным значениям
постоянных на основании ранее приведенного представления общего ре-
шения неоднородного уравнения, записывается в виде
         − x ⎛ 1489      2        237          2 ⎞ ex           8              13
    y = e ⎜⎜        sin    x+            cos     x ⎟⎟ +     +       sin 4 x −      cos 4 x .
             ⎝ 1631     2      1631   2       2     ⎠    7     233            233
      Очевидно, что при других условиях задачи Коши будет получено
другое, вообще говоря, отличное от приведенного частное решение диф-

Страницы