Математика. Курзина В.М - 302 стр.

                                           302

откуда получаем
                                                                2
                             2 x2        3      2   3 xe x    3      2
                    z = ∫ 3 x e dx = ∫ xd (e x ) =          − ∫ e x dx + C .
                                         2             2      2
Подставляя найденные функции в выражение замены, получаем решение
заданного уравнения в квадратурах:
                      ⎛ 3 xe x 2 3             ⎞ 3 x 3e − x 2
            y = e− x ⎜          − ∫ e x dx + C ⎟ =
                    2                  2                          x2         −x2
                                                           2 ∫
                                                     −          e    dx + Ce     .
                      ⎜ 2        2             ⎟ 2
                      ⎝                        ⎠

                   Пример выполнения третьего задания

        Задание. Найти решение задачи Коши для дифференциального урав-
нения
                        2 y ′′ + 4 y ′ + 3 y = e x + cos 4 x,
если при x = 0    y = 1; y ′ = 0.
      Решение. Заданное дифференциальное уравнение является неодно-
родным линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэф-
фициентами. Для его решения составим соответствующее характеристиче-
ское уравнение
                           2λ 2 + 4λ + 3 = 0
и найдем его корни:
          −2+ 4−6                    2          −2− 4−6                   2
        λ1 =          = −1+ i           и λ1 =                  = −1 − i    .
               2                    2                2                   2
Следовательно, общее решение однородного линейного дифференциаль-
ного уравнения, соответствующего заданному, запишется в виде
                               ⎛          2              2 ⎞
                    y = e − x ⎜⎜ C1 sin     x + C2 cos     x ⎟⎟ .
                               ⎝         2              2     ⎠
      Поскольку правая часть неоднородного дифференциального урав-
нения с постоянными коэффициентами является суммой функций, не яв-
ляющихся частными решениями соответствующего однородного диффе-
ренциального уравнения с постоянными коэффициентами, находим част-
ное решение неоднородного уравнения в виде суммы соответствующих
функций с неопределенными коэффициентами, а именно ищем частное
решение в виде
                     y1 = C 3 e x + C 4 sin 4 x + C 5 cos 4 x .
      После дифференцирования частного решения
                      y1′ = C 3 e x + 4C 4 cos 4 x − 4C 5 sin 4 x;
                   y1′′ = C 3 e x − 16C 4 sin 4 x − 16C 5 cos 4 x
и подстановки в исходное дифференциальное уравнение, получаем