Математика. Курзина В.М - 301 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

301
.032
12
=−
−−
dxydyx
Решение. Это уравнение с разделяющимися переменными, преобра-
зуем его к виду
,32
2
dxxydy =
тогда, интегрируя левую и правую часть
полученного равенства, находим
C
x
y +=
3
3
3
2
,
откуда для общего интеграла заданного дифференциального уравнения
получаем выражение
Cxy
=−
32
.
Тот факт, что найденное выражение является общим интегралом для
заданного дифференциального уравнения, подтверждается проверкой, а
именно: взяв дифференциалы по независимой переменной х от обеих час-
тей последнего равенства, получаем
032
12
=−
−−
dxydyx ,
то есть дифференциал от общего интеграла совпадает с исходным диффе-
ренциальным уравнением.
Пример выполнения второго задания
Задание. Найти общее решение дифференциального уравнения
.32
2
xxyy
=
+
′
Решение. Рассматриваемое уравнение является линейным уравнени-
ем первого порядка. Для его решения используем замену неизвестной
функции zuy = , тогда, поскольку uzuzy
′
+
′
=
′
, после подстановки в за-
данное уравнение функции у и ее производной получаем
2
32
x
x
zuuzuz
=
+
′
+
′
,
или
2
3)2( xxuuzuz =+
′
+
′
. (*)
Найдем такую функцию u, чтобы выражение в круглых скобках обраща-
лось в нуль, то есть 02
=
+
′
x
uu . Это уравнение с разделяющимися пере-
менными. Решая его, находим
xdx
u
du
2−= , откуда
2
ln xu −= и функция
2
x
eu
−
= . Подставим полученную функцию в уравнение (*) и учтем, что
выражение в круглых скобках для найденной функции u равно нулю. По-
лучаем
2
3
2
x
ez
x
=
′
−
.
Последнее уравнение является уравнением с разделяющимися переменны-
ми, которое преобразуем к виду
dxe
x
dz
x
2
2
3
=
, 
                                       301

                       2 x −2 dy − 3 y −1 dx = 0.
      Решение. Это уравнение с разделяющимися переменными, преобра-
зуем его к виду 2 ydy = 3x 2 dx, тогда, интегрируя левую и правую часть
полученного равенства, находим
                         2     3x 3
                       y =           +C,
                                3
откуда для общего интеграла заданного дифференциального уравнения
получаем выражение
                       y 2 − x3 = C .
      Тот факт, что найденное выражение является общим интегралом для
заданного дифференциального уравнения, подтверждается проверкой, а
именно: взяв дифференциалы по независимой переменной х от обеих час-
тей последнего равенства, получаем
                             2 x −2 dy − 3 y −1 dx = 0 ,
то есть дифференциал от общего интеграла совпадает с исходным диффе-
ренциальным уравнением.

                   Пример выполнения второго задания

      Задание. Найти общее решение дифференциального уравнения
                         y ′ + 2 xy = 3 x 2 .
      Решение. Рассматриваемое уравнение является линейным уравнени-
ем первого порядка. Для его решения используем замену неизвестной
функции y = zu , тогда, поскольку y ′ = z ′u + zu ′ , после подстановки в за-
данное уравнение функции у и ее производной получаем
                        z ′u + zu ′ + 2 xzu = 3 x 2 ,
или
                          z ′u + z (u ′ + 2 xu ) = 3x 2 .                       (*)
Найдем такую функцию u, чтобы выражение в круглых скобках обраща-
лось в нуль, то есть u ′ + 2 xu = 0 . Это уравнение с разделяющимися пере-
                                     du
менными. Решая его, находим                = −2 xdx , откуда ln u = − x 2 и функция
                                       u
     −x2

u = e . Подставим полученную функцию в уравнение (*) и учтем, что
выражение в круглых скобках для найденной функции u равно нулю. По-
лучаем
                                    z ′e − x = 3x 2 .
                                        2




Последнее уравнение является уравнением с разделяющимися переменны-
ми, которое преобразуем к виду
                                             2

                                   dz = 3 x 2 e x dx ,

Страницы