Математика. Курзина В.М - 299 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

299
Решение. Площадь заданной области определяется значением
интеграла
.
2
1
0
1
2
2
1
0
==
∫
x
xdx
Рисунок
На рисунке показана область, площадь которой определена в резуль-
тате вычисления интеграла. Эта область является треугольником с гипоте-
нузой, совпадающей с частью линии графика функции у = х.
Пример выполнения третьего задания
Задание. Исследовать аналитическим методом характер зависимости
определенного интеграла
∫
=
a
dxxaF
3
3
0
2
4)(
от параметра а.
Решение. Вычисляя заданный определенный интеграл, находим
представление функции )(a
F
, а именно:
3
3
3
3
0
2
4
0
3
3
4
4)(
3
a
a
x
dxxaF
a
===
∫
.
Функция
3
4)( aaF = является кубической параболой и принимает
значения от
− ∞ до + ∞ при изменении значения параметра а от − ∞ до
+
∞, а при а = 0 функция 0)(
=
a
F
. Это возрастающая монотонная функ-
ция, непрерывная во всех точках области определения. В точке а = 0
функция имеет точку перегиба. Конечного максимума и минимума функ-
ция не имеет.
Расчетно-графическая работа № 9
Тема:”
Решение дифференциальных уравнений”
Замечание. Во всех заданиях число а
1
равно последней цифре года,
число а
2
равно последней цифре номера группы, число а
3
равно первой
цифре номера варианта, число а
4
равно последнему числу в номере зачет-
ной книжки.
Задание 1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения
.0
3
2
3
1
=−
−
−
dxyadyxa
х
у
0 1
                                         299

     Решение. Площадь заданной области определяется значением
           1
                   x2 1 1
интеграла  ∫ xdx = 2 0 = 2 .           у
           0

                                                             0     1       х
                                              Рисунок
      На рисунке показана область, площадь которой определена в резуль-
тате вычисления интеграла. Эта область является треугольником с гипоте-
нузой, совпадающей с частью линии графика функции у = х.

                 Пример выполнения третьего задания

     Задание. Исследовать аналитическим методом характер зависимости
определенного интеграла
                                         3 3a

                                             ∫ 4x
                                                    2
                             F (a) =                    dx
                                             0
от параметра а.
     Решение. Вычисляя заданный определенный интеграл, находим
представление функции F (a ) , а именно:
                                            4x 3
                                3
                                    3a                       3
                                         2                       3a
                        F (a ) = ∫ 4 x dx =                         = 4a 3 .
                                 0           3                   0
      Функция F (a ) = 4a 3 является кубической параболой и принимает
значения от − ∞ до + ∞ при изменении значения параметра а от − ∞ до
+ ∞, а при а = 0 функция F (a ) = 0 . Это возрастающая монотонная функ-
ция, непрерывная во всех точках области определения. В точке а = 0
функция имеет точку перегиба. Конечного максимума и минимума функ-
ция не имеет.

                     Расчетно-графическая работа № 9

           Тема:” Решение дифференциальных уравнений”

     Замечание. Во всех заданиях число а1 равно последней цифре года,
число а2 равно последней цифре номера группы, число а3 равно первой
цифре номера варианта, число а4 равно последнему числу в номере зачет-
ной книжки.
     Задание 1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения
                       a1 x −3 dy − a2 y −3 dx = 0.

Страницы