Математика. Курзина В.М - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

4
1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
1.1. Операции над векторами
Множество элементов произвольной природы, в котором определе-
ны операции сложения и умножения на число, подчиняющиеся определён-
ным аксиомам, называется линейным пространством. Элементы произ-
вольного линейного пространства называют векторами.
Операции сложения и умножения на число векторов линейного про-
странства, подчиняются следующим аксиомам:
а)
u
v
v
u
+
=+ − свойство коммутативности сложения векторов;
б)
)()( w
v
uw
v
u ++=++ − свойство ассоциативности сложения век-
торов;
в) существует нулевой элемент
0 такой, что uu =
+
0 для любого
вектора
u
линейного пространства;
г) для каждого вектора
u существует противоположный вектор ( u
−
)
такой, что
0)( =−+ uu ;
д) для любого вектора верно равенство
;1 uu
=
⋅
е)
uu )()(
λµ
µ
λ
= ;
ж)
uuu
µ
λ
µ
λ
+
=
+ )( ;
з)
,)(
v
u
v
u
λ
λ
λ
+=+ где
µ
λ
, − числа.
Вектор
w , определяемый равенством
v
uw
µ
λ
+
=
, называется ли-
нейной комбинацией векторов
u и .
v
Совокупность векторов линейного пространства, для линейной ком-
бинации которых равенство
0...
2211
=+++
kk
uuu
ααα
выполняется тогда
и только тогда, когда все числа
ki
i
,1, =
α
, равны нулю, называется ли-
нейно независимой системой векторов
.
Система векторов, не являющаяся линейно независимой, − линейно
зависимая.
Упорядоченная конечная система линейно независимых векторов,
линейной комбинацией которых образуется любой вектор линейного про-
странства, называется
базисом линейного пространства. Коэффициенты
разложения вектора
u
по базису ,,1, kie
i
= линейного пространства, за-
писанные в соответствии с порядком векторов в базисе, называются коор-
динатами вектора
u
в базисе .,1, kie
i
=
Число векторов базиса линейного пространства называют
размерно-
стью пространства
.
Скалярное произведение двух векторов ),(
v
u − скалярная функция
двух векторных аргументов, подчиняющаяся четырем законам: 
                                    4

                   1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

                         1.1.   Операции над векторами

      Множество элементов произвольной природы, в котором определе-
ны операции сложения и умножения на число, подчиняющиеся определён-
ным аксиомам, называется линейным пространством. Элементы произ-
вольного линейного пространства называют векторами.
      Операции сложения и умножения на число векторов линейного про-
странства, подчиняются следующим аксиомам:
      а) u + v = v + u − свойство коммутативности сложения векторов;
      б) (u + v ) + w = u + (v + w ) − свойство ассоциативности сложения век-
торов;
      в) существует нулевой элемент 0 такой, что u + 0 = u для любого
вектора u линейного пространства;
      г) для каждого вектора u существует противоположный вектор ( − u )
такой, что u + (−u ) = 0 ;
      д) для любого вектора верно равенство 1 ⋅ u = u ;
      е) λ ( µu ) = (λµ )u ;
      ж) (λ + µ )u = λu + µu ;
      з) λ (u + v ) = λu + λv , где λ , µ − числа.
      Вектор w , определяемый равенством w = λu + µv , называется ли-
нейной комбинацией векторов u и v .
      Совокупность векторов линейного пространства, для линейной ком-
бинации которых равенство α 1u1 + α 2 u 2 + ... + α k u k = 0 выполняется тогда
и только тогда, когда все числа α i , i = 1, k , равны нулю, называется ли-
нейно независимой системой векторов.
      Система векторов, не являющаяся линейно независимой, − линейно
зависимая.
      Упорядоченная конечная система линейно независимых векторов,
линейной комбинацией которых образуется любой вектор линейного про-
странства, называется базисом линейного пространства. Коэффициенты
разложения вектора u по базису ei , i = 1, k , линейного пространства, за-
писанные в соответствии с порядком векторов в базисе, называются коор-
динатами вектора u в базисе ei , i = 1, k .
      Число векторов базиса линейного пространства называют размерно-
стью пространства.
      Скалярное произведение двух векторов (u , v ) − скалярная функция
двух векторных аргументов, подчиняющаяся четырем законам:

Страницы