Математика. Курзина В.М - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

5
1) ),(),( u
v
v
u = ;
2)
),(),(),( w
v
wuw
v
u +
=
+ ;
3)
),(),(),(
v
u
v
u
v
u
α
α
α
== ;
4)
0),( ≥
v
v
для всякого
v
; причем, 0),(
=
v
v
тогда и только тогда,
когда
.0=
v
Линейное пространство, в котором введено скалярное произведение,
называют
евклидовым пространством. Скалярное произведение вектора
на себя − скалярный квадрат.
Два вектора в евклидовом пространстве называют
ортогональными,
если их скалярное произведение равно нулю.
Модулем (или длиной) вектора
),...,,(
21 n
vvvv
=
называется число
22
2
2
1
...),(
n
vvvvvv +++==
, равное корню квадратному из суммы
квадратов координат вектора.
Упражнения
1. Образует ли линейное пространство множество всех непрерывных
на [0, 1] функций?
2. Является ли линейным пространством множество всех многочле-
нов третьей степени от переменной х?
3. Образует ли линейное пространство множество всех положитель-
ных чисел, если сумма чисел и произведение на число определены обыч-
ным образом?
4. Является ли линейным пространством множество всех
непрерыв-
ных функций, принимающих только положительные значения, если сумма
функций и произведение на число заданы поточечно?
5. Образует ли множество всех векторов, лежащих на одной оси, ли-
нейное пространство?
6. Найти координаты вектора
,432 dcab −+=
если координаты век-
торов
dca ,, заданы в табл. 1.1.
Т а б л и ц а 1.1
Вариант
a c d
1 3
−1
2 0 1
−3 −2
5 0 6 5 3
2 1 3 5 7
−2
4 3 6 1 1 4 8
3 2 1 2 2 1 1 1 6 2 3 7 3
4 5 2 3 4 2 0 9 2 1 0 0 3
5 0 1 0 2 5 6 5 3 7 6 5 4
6 5 3 1
−1 −4 −6 −8
9 7 3 5 0
7 0
−2
0 2 5 7
−2
0 0 3 3 4
8
−4 −8
1 3 2
−1
1 1 1 4 2 6
9 3 6 3
−3
1
−3
2 2 8 7 5 7 
                                     5

      1) (u , v ) = (v , u ) ;
      2) (u + v , w ) = (u , w ) + (v , w ) ;
      3) (αu , v ) = (u , αv ) = α (u , v ) ;
      4) (v , v ) ≥ 0 для всякого v ; причем, (v , v ) = 0 тогда и только тогда,
когда v = 0 .
      Линейное пространство, в котором введено скалярное произведение,
называют евклидовым пространством. Скалярное произведение вектора
на себя − скалярный квадрат.
      Два вектора в евклидовом пространстве называют ортогональными,
если их скалярное произведение равно нулю.
      Модулем (или длиной) вектора v = (v1 , v 2 ,..., v n ) называется число
 v = (v , v ) = v12 + v 22 + ... + v n2 , равное корню квадратному из суммы
квадратов координат вектора.
                                          Упражнения

       1. Образует ли линейное пространство множество всех непрерывных
на [0, 1] функций?
       2. Является ли линейным пространством множество всех многочле-
нов третьей степени от переменной х?
       3. Образует ли линейное пространство множество всех положитель-
ных чисел, если сумма чисел и произведение на число определены обыч-
ным образом?
       4. Является ли линейным пространством множество всех непрерыв-
ных функций, принимающих только положительные значения, если сумма
функций и произведение на число заданы поточечно?
       5. Образует ли множество всех векторов, лежащих на одной оси, ли-
нейное пространство?
       6. Найти координаты вектора b = 2a + 3c − 4d , если координаты век-
торов a , c , d заданы в табл. 1.1.
                                                            Т а б л и ц а 1.1
        Вариант               a                c                    d
             1        3    −1 2      0   1 −3 −2 5 0 6 5 3
             2        1     3     5  7  −2 4 3 6 1 1 4 8
             3        2     1     2  2   1   1 1 6 2 3 7 3
             4        5     2     3  4   2   0 9 2 1 0 0 3
             5        0     1     0  2   5   6 5 3 7 6 5 4
             6        5     3     1 −1  −4 −6 −8 9 7 3 5 0
             7        0    −2 0      2   5   7 −2 0 0 3 3 4
             8       −4    −8 1      3   2 −1 1 1 1 4 2 6
             9        3     6     3 −3   1 −3 2 2 8 7 5 7

Страницы