Математика. Курзина В.М - 65 стр.

                                   65

гая полуплоскость вместе с той же прямой является множеством реше-
ний неравенства ax1 + bx 2 + c ≤ 0.
      Следовательно, решением линейного неравенства является полу-
плоскость вместе с ее границей, т. е. выпуклое множество без угловых то-
чек, или иначе − выпуклый многоугольник.
      Рассмотрим систему m линейных неравенств с двумя переменными.
Возьмем систему из двух первых неравенств данной системы. Множеством
ее решений (если она совместна) служат точки, которые принадлежат по-
луплоскостям решений обоих неравенств, т. е. принадлежат их пересече-
нию. Согласно свойству выпуклых множеств, это множество является вы-
пуклым и имеет конечное число угловых точек. Применяя метод матема-
тической индукции, аналогично устанавливаем, что множеством решений
системы m линейных неравенств с двумя переменными является выпук-
лый многоугольник (исключая случай, когда система несовместна).

                                  Упражнения
      Построить множества решений линейных неравенств:
      1. 2 x1 − 3 x 2 + 6 ≥ 0.                2. 5 x1 + 2 x 2 − 10 ≥ 0.
      3. x1 − 2 x 2 ≥ 0.                       4. 2 x1 − 3x 2 + 6 ≤ 0.
      5. 5 x1 − x 2 + 15 ≥ 0.                  6. 4 x1 + 8 x 2 − 12 ≥ 0.
      7. 7 x1 + 21x 2 − 35 ≥ 0.                8. x1 + x 2 + 2 ≤ 0.
      9. 15 x1 + 3x 2 − 15 ≤ 0.                10. 4 x1 + 8 x 2 − 12 ≤ 0.
      11. 9 x1 + 18 x 2 + 72 ≤ 0.              12. 5 x1 − 2 x 2 − 20 ≤ 0.
      13 − 42. Построить множества решений систем линейных неравенств
и найти координаты их угловых точек:
                                                       ⎧ x1 + x 2 ≤ 6;
              ⎧ x1 + 2 x 2 − 8 ≥ 0;                    ⎪2 x − x ≤ 4;
              ⎪ x − 2 x ≤ 0;                           ⎪⎪ 1        2
              ⎪     1       2
      13. ⎨                                   14.       ⎨ x1 + 2 x 2 ≥ 4;
                3
              ⎪ 1 x + 2 x 2 − 32 ≤ 0;                   ⎪ x1 ≤ 3;
              ⎪⎩       x 2 ≤ 7.                         ⎪
                                                        ⎪⎩ x 2 ≤ 4.

            ⎧ x1 + x 2 − 6 ≤ 0;                        ⎧2 x1 − x 2 + 4 ≤ 0;
            ⎪ x + x − 2 ≥ 0;                           ⎪ x + x − 3 ≥ 0;
            ⎪⎪ 1     2                                 ⎪⎪ 1      2
     15.     ⎨ x1 − x 2 ≥ 0;                    16.     ⎨ x1 + x 2 − 7 ≤ 0;
             ⎪     x1 ≤ 5;                              ⎪      x1 ≤ 6;
             ⎪                                          ⎪
             ⎪⎩ 0 ≤ x 2 ≤ 3.                            ⎪⎩    x 2 ≥ 0.