Математика. Курзина В.М - 63 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

63
30. Найти уравнение перпендикуляра, восставленного к прямой в
точке С, делящего отрезок этой прямой между точками )9;8(
A
и )81;56(
B
в
отношении
λ = 3 : 4.
2.3. Выпуклые множества и их свойства
Множества, элементами которых являются точки, называются
то-
чечными
. Примерами точечных множеств на плоскости являются точки
круга (или круг), точки прямой (или прямая), луч, отрезок, угол, сектор,
треугольник и т. д.; в пространстве
− шар, призма, параллелепипед, точки
кольца в виде "бублика" и т. п.
Выпуклым называется множество, содержащее вместе с любыми
двумя своими точками также все точки отрезка, соединяющего их.
Точка выпуклого множества называется
угловой (или крайней), если
через нее нельзя провести ни одного отрезка, состоящего только из точек
данного множества, и для которого она была бы внутренней.
Для выпуклого многоугольника угловыми точками являются все его
вершины, для отрезка
− его концы.
Упражнения
1. Определить, какие из следующих множеств являются выпуклыми:
а)
4
22
=+ yx ; б) 045
=
−− y
x
; в) 25
22
<+ yx ; г) 9
22
≥+ yx .
2. Построить пересечение множеств
4
22
≤+ yx и 1
22
≤+ yx . Оп-
ределить, какое множество получается в результате.
3. Показать на примере, что пересечение двух выпуклых множеств
также является выпуклым множеством.
4. Построить два невыпуклых множества и найти их пересечение.
Какие множества могут получаться при пересечении невыпуклых мно-
жеств?
5
−30. Построить многоугольники, стороны которых заданы следую-
щими уравнениями и определить координаты их угловых точек.
Какие из полученных множеств являются выпуклыми ?
5.
.4;0;0
=
+
=
= y
x
y
x
6.
.42;0;2
=
+
== y
x
yy
x
7.
.5;0;0
=
=−=+ y
x
y
x
y
8.
.3;0;0;33
=
+
=
==− y
x
x
y
x
y
9.
.62;1;25,0;12
=
+
−
=
−==− y
x
x
y
x
y
10.
.4;2;1 ===
x
yyx
11.
.6;31
2
==− yx
                                     63

      30. Найти уравнение перпендикуляра, восставленного к прямой в
точке С, делящего отрезок этой прямой между точками A(8;9) и B(56;81) в
отношении λ = 3 : 4.

                  2.3. Выпуклые множества и их свойства

      Множества, элементами которых являются точки, называются то-
чечными. Примерами точечных множеств на плоскости являются точки
круга (или круг), точки прямой (или прямая), луч, отрезок, угол, сектор,
треугольник и т. д.; в пространстве − шар, призма, параллелепипед, точки
кольца в виде "бублика" и т. п.
      Выпуклым называется множество, содержащее вместе с любыми
двумя своими точками также все точки отрезка, соединяющего их.
      Точка выпуклого множества называется угловой (или крайней), если
через нее нельзя провести ни одного отрезка, состоящего только из точек
данного множества, и для которого она была бы внутренней.
      Для выпуклого многоугольника угловыми точками являются все его
вершины, для отрезка − его концы.

                                   Упражнения
       1. Определить, какие из следующих множеств являются выпуклыми:
а) x 2 + y 2 = 4 ; б) 5 x − y − 4 = 0 ; в) x 2 + y 2 < 25 ; г) x 2 + y 2 ≥ 9 .
     2. Построить пересечение множеств x 2 + y 2 ≤ 4 и x 2 + y 2 ≤ 1. Оп-
ределить, какое множество получается в результате.
     3. Показать на примере, что пересечение двух выпуклых множеств
также является выпуклым множеством.
     4. Построить два невыпуклых множества и найти их пересечение.
Какие множества могут получаться при пересечении невыпуклых мно-
жеств?
     5−30. Построить многоугольники, стороны которых заданы следую-
щими уравнениями и определить координаты их угловых точек.
     Какие из полученных множеств являются выпуклыми ?
     5. x = 0; y = 0; x + y = 4.
     6. x = 2 y; y = 0; 2 x + y = 4.
     7. y + x = 0; y − x = 0; y = 5.
     8. y − 3 x = 3; y = 0; x = 0; x + y = 3.
     9. 2 y − x = 1; y = −0,25; x = −1; 2 x + y = 6.
     10. yx = 1; y = 2; x = 4.
      11. x 2 − 1 = 3;   y = 6.

Страницы