Физика геосферы. Куштанова Г.Г. - 36 стр.

    Наложим дополнительные требования на перепад температур и
амплитуду а: |a| << ∆T <<Т1, неравенства дают возможность использовать
структурно и параметрически линеаризованные уравнения ЕК: уравнение
движения, уравнение неразрывности несжимаемой жидкости, уравнение
энергии
               r
    − ∇p + η∇ 2υ − ρ 0 βgvϑ = 0
        r
    div υ = 0
    ∇ 2ϑ = 0; ϑ = T − T1
           1 ∂ρ
    β =−       ( ) , коэффициент теплового расширения жидкости,
           ρ ∂T T     0



Pr=ν/a, υ - скорость, ϑ -отклонение температуры от равновесного
значения, η-коэффициент сдвиговой вязкости,ν- коэффициент
кинематической вязкости.
    Отсутствие зависимости компонент скорости и температуры в
граничных условиях от координаты х3, а также соображения симметрии
позволяют предположить, что конвекция в слое будет двумерной.
    Вводятся безразмерные переменные
     x1 = kx1 , x2 = kx2 , L = kh,
       *          *



    υ1 = (νk ) −1υ1 , υ 2 = (νk ) −1υ 2 , ψ * = ν −1ψ ,
      *                   *



    θ = (ϑ − ∆Tx2 h −1 )(a cos kx1 ) −1 , Gr = βgak −3ν −2
    Длина волны температурного возмущения λ(k=2π/λ) и амплитуда
“a” выбраны в качестве характерных величин, поскольку именно они
ответственны за возбуждение конвекции. В дальнейшем все звездочки у
безразмерных величин опускаем.
    Распределение температуры θ = shx2 / shL
    Интегрируя уравнение, находят функцию тока
                                            shx2
    ψ = − grΨ ( x2 ) sin x1 , Ψ ( x2 ) =          (C1 + C 2 x2 + x22 − C1e − x sh −1 x2 )
                                                                               2


                                            8shL
               L2 (1 − e 2 L ) 2                          1 + 2L − e2L
    Cc =                                 , C 2 = − L − C1
         1 − 2e 2 L − 4 L2 e 2 L + e 4 L                    L(1 − e 2 L )
    Выпишем выражения для компонент скорости
    υ1 = −Gr U ( x2 ) sin x1 ; U ( x2 ) = ∂Ψ / ∂x2 ;
    υ 2 = Gr V ( x2 ) cos x1 ; V ( x2 ) = Ψ ( x2 )
    Поскольку по оси х1 решение периодическое достаточно
рассмотреть участок размером в длину волны 0<=x1<=2π.
    Функция тока равна нулю при x=πn, n=0,1,2… т.е. там, где
распределение температур экстремально, а также на границах х2 = 0, х2 =L.


                                                                                            36