ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
42
обратного преобразования Лапласа, непрерывного для всех t>0.
(Различные разрывные функции могут иметь одинаковое преобразование
Лапласа. В частности единичная функция f(t)=0 для t<0 и f(t)=1 для t>0
имеет преобразование Лапласа 1/s независимо от значения принимаемого
f(t) при t =0. )
Теорема о свертке
. Пусть
)())(()(
111
σ
σ
>= tfLsF
)())(()(
222
σ
σ
>= tfLsF
Тогда
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
>−
>−
=
∫
∫
∞+
∞−
∞+
∞−
i
i
i
i
dzzsFяF
i
dzzsFяF
i
tftfL
λ
λ
λ
λ
σλ
π
σλ
π
)()()(
2
1
)()()(
2
1
))()((
212
121
21
(4)
В обеих формулах следует считать, что Re s>σ
1
+σ
2
, Это значит, что
изображение произведения f
1
(t)f
2
(t)- аналитическая функция в
полуплоскости Re s>σ
1
+σ
2
.
(Однозначная функция называется аналитической (регулярной,
голоморфной) в т.z=a, если она дифференцируема в некоторой окрестности
т.a))
Теорема о свертке 2.
Если интегралы
∫
∞
−
=
0
11
)()( dtetfsF
st
∫
∞
−
=
0
22
)()( dtetfsF
st
сходятся абсолютно при Re s>σ
a
, то )()()(
21
sFsFsF
=
является
преобразованием Лапласа от
∫
∞
−=
0
21
)()()(
τττ
dftftf (5)
и сходимость интеграла
∫
∞
−
=
0
)()( dtetfsF
st
при Re s>σ
a
абсолютна.
Некоторые свойства преобразования Лапласа.
1. Свойство линейности. Пусть
∑
=
=
n
k
kk
tfctf
1
)()(
где с
к
любые
комплексные постоянные. Тогда
∑
=
=
n
k
kk
sFcsF
1
)()( (6)
На основании (6) формально имеем
),()),((
λ
λ
λ
λ
sF
d
d
tf
d
d
L = (7)
обратного преобразования Лапласа, непрерывного для всех t>0.
(Различные разрывные функции могут иметь одинаковое преобразование
Лапласа. В частности единичная функция f(t)=0 для t<0 и f(t)=1 для t>0
имеет преобразование Лапласа 1/s независимо от значения принимаемого
f(t) при t =0. )
Теорема о свертке. Пусть
F1 ( s ) = L( f1 (t )) (σ > σ 1 )
F2 ( s ) = L( f 2 (t )) (σ > σ 2 )
Тогда
⎧ 1 λ +i∞
⎪⎪ 2πi λ −∫i∞F1 ( я ) F2 ( s − z )dz (λ > σ 1 )
L( f1 (t ) f 2 (t )) = ⎨ (4)
1 λ +i∞
⎪ F ( я ) F1 ( s − z )dz (λ > σ 2 )
⎪⎩ 2πi λ −∫i∞ 2
В обеих формулах следует считать, что Re s>σ1+σ2, Это значит, что
изображение произведения f1(t)f2(t)- аналитическая функция в
полуплоскости Re s>σ1+σ2 .
(Однозначная функция называется аналитической (регулярной,
голоморфной) в т.z=a, если она дифференцируема в некоторой окрестности
т.a))
Теорема о свертке 2. Если интегралы
∞
F1 ( s ) = ∫ f1 (t )e − st dt
0
∞
F2 ( s ) = ∫ f 2 (t )e − st dt
0
сходятся абсолютно при Re s>σa, то F ( s ) = F1 ( s ) F2 ( s ) является
∞
преобразованием Лапласа от f (t ) = ∫ f1 (t − τ ) f 2 (τ )dτ (5)
0
∞
и сходимость интеграла F ( s ) = ∫ f (t )e − st dt
0
при Re s>σa абсолютна.
Некоторые свойства преобразования Лапласа.
n
1. Свойство линейности. Пусть f (t ) = ∑c
k =1
k
f k ( t ) где ск любые
n
комплексные постоянные. Тогда F ( s ) = ∑ ck Fk ( s ) (6)
k =1
На основании (6) формально имеем
d d
L( f (t , λ )) = F ( s, λ ) (7)
dλ dλ
42
