ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
43
λλλλ
λ
λ
λ
λ
dsFdtfL ),()),((
2
1
2
1
∫∫
= (8)
2. Свойство подобия. Для любого постоянного α имеем
)()()())((
00
sFdefdte
t
f
t
fL
sst
ααττα
αα
ατ
===
∫∫
∞
−
∞
−
(9)
3. Преобразование производных
. С помощью интегрирования по
частям легко получить
)0(...)0()0()())((
)1('21)( −−−
−
−
−
−=
nnnnn
ffsfssFstfL (10)
n- целое положительное число.
)()0()(
0
0
'
ssFfdtfesfedtetf
ststst
+−=+=
∫∫
−∞−
∞
−
4. Дифференцирование преобразования Лапласа
.
))(()1(
)(
tftL
ds
sFd
nn
n
n
−= (11)
5. Преобразование интегралов
.
n
t
nn
s
sF
dfddL
n
)(
))(...(
00 0
111
2
=
∫∫ ∫
−
−−
τ
τ
ττττ
(12)
6. Интегрирование преобразования Лапласа
.
)
)(
()(...
2
111
n
sq q
nn
t
tf
LdqqFdqdq
n
=
∫∫ ∫
∞∞ ∞
−−
−
(13)
Предельные теоремы
. Если F(s)- преобразование Лапласа для f(t) и
L(f’(t)) существует, то
)00()(
lim
+=
∞→
fssF
s
, (14)
если предел справа существует.
Если в дополнении к первым двум условиям существует предел f(t)
при t→∞ , то
)(
lim
)(
0
lim
tf
t
ssF
s ∞→
=
→
(15)
Таблица некоторых преобразований Лапласа.
f(t) F(s)_
1 1/s
t 1/s
2
1/√πt 1/√s
λ2 λ2
L( ∫ f (t , λ )dλ ) = ∫ F ( s , λ ) dλ (8)
λ1 λ1
2. Свойство подобия. Для любого постоянного α имеем
∞ ∞
t t − st
L( f ( )) = ∫ f ( )e dt = α ∫ f (τ )e − sατ dτ = αF (αs ) (9)
α 0 α 0
3. Преобразование производных. С помощью интегрирования по
частям легко получить
L( f ( n ) (t )) = s n F ( s ) − s n −1 f (0) − s n − 2 f ' (0) − ... − f ( n−1) (0) (10)
n- целое положительное число.
∞
∫f (t )e − st dt = fe − st 0∞ + s ∫ fe − st dt = − f (0) + sF ( s )
'
0
4. Дифференцирование преобразования Лапласа.
d n F ( s)
n
= (−1) n L(t n f (t )) (11)
ds
5. Преобразование интегралов.
τ τ
t n−2
F (s)
L( ∫ dτ ∫ dτ 1 ... ∫ f (τ n −1 )dτ n−1 ) = n (12)
0 0 0 s
6. Интегрирование преобразования Лапласа.
∞ ∞ ∞
f (t )
∫s ∫q 1 q ∫ F (qn−1 )dqn−1 = L( t n )
dq dq ... (13)
n−2
Предельные теоремы. Если F(s)- преобразование Лапласа для f(t) и
L(f’(t)) существует, то
lim
sF ( s ) = f (0 + 0) , (14)
s→∞
если предел справа существует.
Если в дополнении к первым двум условиям существует предел f(t)
при t→∞ , то
lim lim
sF ( s ) = f (t ) (15)
s→0 t →∞
Таблица некоторых преобразований Лапласа.
f(t) F(s)_
1 1/s
t 1/s2
1/√πt 1/√s
43
