ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
41
Приложение
Преобразование Лапласа
Определение
. Пусть f(t) – однозначная функция действительного
переменного t, 0<=t<∞. Преобразование Лапласа
∫
∞
−
==
0
)())(()( dtetftfLsF
st
(1)
ставит в соответствие каждой такой функции (оригиналу), для
которой несобственный интеграл (1) сходится единственную функцию F(s)
комплексной переменной s=σ+iω, называемой изображением.
Т. Если интеграл
∫∫
−
∞
−
∞→
→=
b
a
stst
dtetf
b
adtetf )(0
lim
)(
0
(2)
сходится для σ=σ
0
, преобразование Лапласа существует для σ>=σ
0
,
изображение – аналитическая функция для σ>σ
0
.
Точная нижняя грань σ
а
чисел σ
0,
для которых это условие
соблюдается, называется абсциссой абсолютной сходимости
преобразования Лапласа.
Теорема обращения
. Пусть F(s)=L(f(t)), σ>σ
0
, тогда в каждом
открытом интервале, где f(t) ограничена и имеет конечное число точек
максимума, минимума и точек разрыва
[]
[]
)(
00
0)00(
2
1
0)0()0(
2
1
)(
lim
2
1
)(
1
1
1
a
iR
iR
st
I
tдля
tдляf
tдляtftf
dsesF
R
i
tf
σσ
π
σ
σ
>
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
<
=+
>++−
=
∞→
=
∫
+
−
(3)
В частности для каждого t>0, где f(t) непрерывна,
)()(
lim
2
1
)(
1
1
tfdsesF
R
i
tf
iR
iR
st
I
∫
+
−
=
∞→
=
σ
σ
π
)(
1 a
σ
σ
> (3b)
Путь интегрирования в формулах (3) лежит справа от всех особых
точек F(s).
Единственность преобразования и его обращения
. Преобразование
Лапласа (1) единственно для каждой функции f(t), имеющей такое
преобразование. Обратно, две функции f
1
(t )и f
2
(t)имеющие одинаковые
преобразования Лапласа совпадают для всех t>0, за исключением,
возможно, множества меры нуль; f
1
(t )= f
2
(t) для всех t>0, где обе функции
непрерывны (теорема Лерха).
f(t) определяется единственным образом по преобразованию Лапласа
для почти для всех t>0; данная функция не может иметь более одного
Приложение
Преобразование Лапласа
Определение. Пусть f(t) – однозначная функция действительного
переменного t, 0<=t<∞. Преобразование Лапласа
∞
F ( s ) = L( f (t )) = ∫ f (t )e − st dt (1)
0
ставит в соответствие каждой такой функции (оригиналу), для
которой несобственный интеграл (1) сходится единственную функцию F(s)
комплексной переменной s=σ+iω, называемой изображением.
Т. Если интеграл
∞
lim b
∫0 f (t ) e dt = a → 0 ∫a f (t ) e dt
− st − st
(2)
b→∞
сходится для σ=σ0 , преобразование Лапласа существует для σ>=σ0,
изображение – аналитическая функция для σ>σ0 .
Точная нижняя грань σа чисел σ0, для которых это условие
соблюдается, называется абсциссой абсолютной сходимости
преобразования Лапласа.
Теорема обращения. Пусть F(s)=L(f(t)), σ>σ0, тогда в каждом
открытом интервале, где f(t) ограничена и имеет конечное число точек
максимума, минимума и точек разрыва
⎧1
⎪2 [ f (t − 0) + f (t + 0)] дляt > 0
1 lim σ +iR ⎪⎪ 1
[ f (0 + 0)] дляt = 0 (σ1 > σ a ) (3)
1
f I (t) = ∫ =
st
F ( s)e ds ⎨
2πi R →∞σ −iR ⎪ 2
0 дляt < 0
1
⎪
⎪⎩
В частности для каждого t>0, где f(t) непрерывна,
1 lim σ +iR 1
f I (t ) = ∫ F ( s )e st ds = f (t ) (σ 1 > σ a ) (3b)
2πi R → ∞ σ −iR 1
Путь интегрирования в формулах (3) лежит справа от всех особых
точек F(s).
Единственность преобразования и его обращения. Преобразование
Лапласа (1) единственно для каждой функции f(t), имеющей такое
преобразование. Обратно, две функции f1(t )и f2(t)имеющие одинаковые
преобразования Лапласа совпадают для всех t>0, за исключением,
возможно, множества меры нуль; f1(t )= f2(t) для всех t>0, где обе функции
непрерывны (теорема Лерха).
f(t) определяется единственным образом по преобразованию Лапласа
для почти для всех t>0; данная функция не может иметь более одного
41
