Подземная гидромеханика. Куштанова Г.Г - 16 стр.

    9. Плоскорадиальный фильтрационный поток упругой жидкости.                     которое нужно проинтегрировать при условиях, полученных из (32)
    Пусть в неограниченном горизонтальном пласте постоянной толщины h          преобразованием к безразмерному виду:
имеется добывающая скважина нулевого радиуса (точечный сток).                       P(ξ ) = 1       при ξ → ∞;
Начальное пластовое давление во всем пласте одинаково и равно рк. В                 ⎛ ∂P ⎞        Q0 µ
                                                                                    ⎜⎜ ξ  ⎟⎟ =           .
момент времени t=0 скважина пущена в эксплуатацию с постоянным                       ⎝ ∂ξ ⎠ ξ =0 2πkhp Κ
объемным дебитом Q0. Распределение давления в пласте определяется
                                                                                                                            dP
интегрированием уравнения, которое в цилиндрической системе координат              Воспользуемся подстановкой                  = v, тогда будем иметь
                                                                                                                            dξ
имеет вид:
                                                                               dv ⎛ 1       ⎞          dξ dv
    ∂p      ⎛ ∂ 2 p 1 ∂p ⎞                                                       + ⎜⎜ + 2ξ ⎟⎟v = 0 или   +   = −2ξdξ .
       = κ ⎜⎜ 2 +         ⎟.                                      (31)         dt ⎝ ξ       ⎠          ξ   v
    ∂t      ⎝ ∂r    r ∂r ⎟⎠
                                                                                   Проинтегрировав, получим ln ξ + ln v = −ξ 2 + ln C , где С− постоянная
    Начальные и граничные условия задачи следующие:
                                                                               интегрирования. Потенциируя, найдем v =
                                                                                                                                     dP    exp(−ξ 2 ) . Разделим
    p(r , t ) = p Κ   при   t = 0;                                                                                                      =C
                                                                  (32)                                                               dξ       ξ
    p(r , t ) = p Κ   при   t > 0, r → ∞;
                                                                                                                                 ∞
                                                                                                                                       exp(−ξ 2 )
                                                                                                                        1
       2πkh ⎛ ∂p ⎞
    Q=      ⎜ r ⎟ = Q0 = const при
        µ ⎝ ∂r ⎠
                                            t > 0, r = 0.                      переменные и проинтегрируем
                                                                                                                       ∫P
                                                                                                                            dP = ∫ C
                                                                                                                                 ξ         ξ
                                                                                                                                                     dξ . Учитывая первое

    Последнее условие перепишем в виде                                                                                                          ∞
                                                                                                                                                         exp(−ξ 2 )
    ⎛ ∂p ⎞      Q0 µ
                                                                               из условий в безразмерном виде, получим P (ξ ) = −
                                                                                                                                                ∫ξ   C
                                                                                                                                                               ξ
                                                                                                                                                                      dξ + 1 .
    ⎜r ⎟ =           .
    ⎝ ∂r ⎠ r =0 2πkh                                                                                                                            ∞
                                                                               Используя второе условие, найдем P (ξ ) = − Q0 µ                       exp(−ξ 2 )
    Используя анализ размерностей, можно показать, что задача
                                                                                                                                       2πkhpΚ   ∫ξ         ξ
                                                                                                                                                                   dξ + 1 .
автомодельна, т.е. из аргументов, от которых зависит давление, можно
                                                                               Интеграл в последней формуле сводится к табличному следующей
                                               r
составить один безразмерный комплекс ξ =            , от которого будет
                                             2 κt                                                    r2
                                                                               подстановкой: u = ξ =
                                                                                                           2
                                                                                                         . Перейдем к размерным величинам
                                                                                                     4κt
зависеть искомая функция p(r,t). Произведем замену переменных р=Р/рк и
                                                                                                           ∞
получим обыкновенное дифференциальное уравнение вида                                                Q0 µ         exp(−u )
                                                                               p( r , t ) = p Κ −
                                                                                                    4πkh   ∫        u
                                                                                                                          du .
    d 2P ⎛ 1        ⎞ dP                                                                                   r2
         + ⎜⎜ + 2ξ ⎟⎟    = 0,                                                                              4κt
            ⎝ξ
       2
    dt              ⎠ dt                                                           Интеграл в последней формуле называется интегральной показательной
                                                                               функцией и обозначается
                                                                          31                                                                                                     32