Вопросы и задачи по курсу квантовой химии. Кузин Э.Л. - 22 стр.

   104. Что такое условия сшивания для волновой функции и каков их фи-
зический смысл? Запишите условия сшивания для волновой функции зада-
чи 101 (и).
   105. Какие решения временного уравнения Шредингера называют ста-
ционарными? Покажите, что такие решения получаются в том случае, ко-
гда U не зависит от времени явно.
   106. Как изменится волновая функция Ψ(х, t), описывающая стационар-
ные состояния, если изменить начало отсчета потенциальной энергии на
некоторую величину ΔU?
   107. Найдите решения временного уравнения Шредингера для свобод-
ной частицы, движущейся с импульсом р в положительном направлении
оси Х.
   108. То же, что и в предыдущей задаче, но частица движется с импуль-
сом р в произвольном направлении.
   109. Покажите, что энергия свободно движущейся частицы может
иметь любые значения (непрерывный спектр).
   110. Частица массы m находится в одномерной прямоугольной потен-
циальной яме шириной l с бесконечно высокими стенками. Покажите, что
собственные значения энергии частицы и ее нормированные собственные
функции (0 < x < l) имеют вид:
                         n 2h2π 2              2     nπx
                  En =            ; Ψn ( x ) =   sin     , n = 1,2,...
                          2ml 2                l      l
   Решение. Уравнение Шредингера внутри ямы имеет вид:

                   (          )
                 − h 2 / 2m ψ ′′( х) = Еψ ( х) или ψ ′′( x) + k 2 ψ ( x) = 0 ,   (1)

где k 2 = 2mE / h 2 = p 2 / h 2 . Решение уравнения (1) имеет вид

                              ψ ( x) = C1e ikx + C 2 e − ikx .
   Коэффициенты С1 и С2 находим из граничных условий: ψ(0)=0; ψ(l)=0.
Из первого граничного условия получаем С1 = -С2 и ψ(х)=2i С1 sinkx; из
второго граничного условия имеем sinkl=0, kl=nπ, где n=±1,±2,... Значения
n=0 отбрасываем, так как при этом значении ψ(х) тождественно равно ну-
лю во всех точках внутри ямы, что соответствует отсутствию такого со-
стояния.
                       k=nπ/l ; ψn(x) = csin(nπx/l) .
   Здесь мы воспользовались принципом суперпозиции, умножив Ψ(х) на
постоянное число -0,5i. Коэффициент С находим из условия нормировки:

                                                                                 21