Составители:
Рубрика:
ния пружины dL . Рассмотрим бесконечно малый вектор перемещения
1
rd
r
точки приложения силы F
r
, нахо-
дящейся на оси пружины (см. рис 11.12).
. Рис 11.12 Схема деформации пружины
Этот вектор направлен перпендикулярно вектору
1
r
r
, соединяющему элемент витка с точкой приложе-
ния силы. Величина его равна
ϕdr ⋅
1
, где
ϕ
d − угол кручения элемента витка. Направление вектора переме-
щения образует с осью пружины угол
ϕ . На рис. 11.12 изображен также вектор перемещения
2
rd
r
точки при-
ложения силы при кручении элемента витка, расположенного на одном диаметре с первым элементом и имею-
щим такую же длину. По этой причине модули обоих векторов перемещений одинаковы и мы обозначим их че-
рез
dr . Видно, что сумма этих векторов направлена по оси пружины и ее величина равна
dLdRcosdr ⋅=⋅⋅=⋅⋅ 222
ϕ
ϕ . Таким образом, перемещение точки приложения силы при кручении одно-
го элемента витка на угол
ϕd
выражается формулой
ϕ
dRdL
⋅
=
. Угол кручения вычислим с помощью со-
отношения 11.6:
4
0
2
rG
Mdh
d
⋅⋅
⋅⋅
=
π
ϕ
. Полную линейную деформацию
L
Δ
пружины с общей длиной
всех
N витков RNh ⋅
⋅
⋅= π2 можно получить с помощью интегрирования:
4
3
4
0
3
2
0
4
0
2
4
0
8442
dG
NDF
rG
NRF
rG
NMR
rG
Mdh
RdLL
RN
⋅
⋅⋅⋅
=
⋅
⋅⋅⋅
=
⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
=
⋅⋅
⋅⋅
⋅==
∫∫
⋅⋅⋅ π
π
π
π
Δ
,
где d – диаметр проволоки пружины, D – диаметр пружины, N
− количество витков.
Следовательно, жесткость пружины
ND
dG
L
F
k
⋅⋅
⋅
==
3
4
8Δ
. (11.8)
Из формулы (11.8) вытекает связь модуля сдвига и жесткостью пружины:
k
d
ND
G ⋅
⋅⋅
=
4
3
8
(11.9)
Для экспериментального определения жесткости пружины в данной работе изучаются свободные коле-
бания груза известной массы
m , подвешенного на пружине (пружинный маятник). Зависимость отклонения от
равновесного положения груза от времени
)t(x подчиняется следующему уравнению динамики:
0
2
0
2
2
=⋅+ )t(x
dt
)t(xd
ω .
Решение этого уравнения, как следует из теории, имеет вид:
)tcos(x)t(x
α
ω
+
⋅
⋅
=
00
,
1
rd
v
2
rd
v
dL
1
r
r
2
r
r
r r
ния пружины dL . Рассмотрим бесконечно малый вектор перемещения dr1 точки приложения силы F , нахо-
дящейся на оси пружины (см. рис 11.12).
v
r dr1
r1
r
r2 dL
v
dr2
. Рис 11.12 Схема деформации пружины
r
Этот вектор направлен перпендикулярно вектору r1 , соединяющему элемент витка с точкой приложе-
ния силы. Величина его равна r1 ⋅ dϕ , где dϕ − угол кручения элемента витка. Направление вектора переме-
r
щения образует с осью пружины угол ϕ . На рис. 11.12 изображен также вектор перемещения dr2 точки при-
ложения силы при кручении элемента витка, расположенного на одном диаметре с первым элементом и имею-
щим такую же длину. По этой причине модули обоих векторов перемещений одинаковы и мы обозначим их че-
рез dr . Видно, что сумма этих векторов направлена по оси пружины и ее величина равна
2 ⋅ dr ⋅ cos ϕ = 2 ⋅ R ⋅ dϕ = 2 ⋅ dL . Таким образом, перемещение точки приложения силы при кручении одно-
го элемента витка на угол dϕ выражается формулой dL = R ⋅ dϕ . Угол кручения вычислим с помощью со-
2 ⋅ dh ⋅ M
отношения 11.6: dϕ = . Полную линейную деформацию ΔL пружины с общей длиной
π ⋅ G ⋅ r 04
всех N витков h = N ⋅ 2 ⋅ π ⋅ R можно получить с помощью интегрирования:
N⋅2⋅π⋅R 2 ⋅ dh ⋅ M 4 ⋅ π ⋅ R 2 ⋅ M ⋅ N 4 ⋅ F ⋅ R 3 ⋅ N 8 ⋅ F ⋅ D 3 ⋅ N
ΔL = ∫ dL = ∫ R⋅ = = = ,
0 π ⋅ G ⋅ r04 π ⋅ G ⋅ r0
4
G ⋅ r0
4
G ⋅ d4
где d диаметр проволоки пружины, D диаметр пружины, N − количество витков.
Следовательно, жесткость пружины
F G ⋅ d4
k= = . (11.8)
Δ L 8 ⋅ D3 ⋅ N
Из формулы (11.8) вытекает связь модуля сдвига и жесткостью пружины:
8 ⋅ D3 ⋅ N
G= ⋅k (11.9)
d4
Для экспериментального определения жесткости пружины в данной работе изучаются свободные коле-
бания груза известной массы m , подвешенного на пружине (пружинный маятник). Зависимость отклонения от
равновесного положения груза от времени x( t ) подчиняется следующему уравнению динамики:
d 2 x(t )
2
+ ω 02⋅ x(t ) = 0 .
dt
Решение этого уравнения, как следует из теории, имеет вид:
x(t ) = x 0 ⋅ cos(ω 0⋅ t + α ) ,
