Определение модуля сдвига с помощью пружинного маятника . Кузьменко В.С. - 8 стр.

радиальном направлении, dϕ ⎯ угловая деформация кручения цилиндрического слоя, γ ⎯ угловая деформация
сдвига б.м. объема, Δ ⎯ линейное перемещение верхней грани б.м. кубика относительно нижней при деформа-
ции сдвига, τ ⎯ касательные напряжения сдвига на гранях б.м. кубика, параллельных основаниям цилиндра (на
двух других гранях имеются касательные напряжения той же величины, но они не показаны на рисунке).
     Выразим угловую деформацию кручения dϕ через угол кручения цилиндра ϕ. Поскольку все бесконечно
тонкие слои одинаковой толщины dz испытывают воздействие одинаковых скручивающих моментов сил, их
деформации dϕ одинаковы. Отсюда вытекает, что угол кручения цилиндра, имеющего высоту h, равен произ-
                                                             h                    dz
ведению dϕ на количество слоев толщиной dz, т.е. ϕ = dϕ ⋅       . Откуда dϕ = ϕ ⋅    .
                                                             dz                   h
     Найдем теперь угловую деформацию сдвига γ. Для этого выразим линейное смещение верхней грани Δ, с
                                                                                    dϕ      r
одной стороны, через γ, а с другой ⎯ через dϕ: Δ = γ ⋅ dz = r ⋅ dϕ . Отсюда γ = r ⋅    = ϕ ⋅ . Вычислим момент
                                                                                    dz      h
сил упругости через касательные напряжения τ. Используем закон Гука для деформации сдвига (11.4) и полу-
                      r
чаем: τ = γ ⋅ G = ϕ ⋅ ⋅ G . К грани кубика с площадью dS = dr ⋅ r ⋅ dα приложена касательная сила
                      h
                  r
dF = τ ⋅ dS = ϕ ⋅ ⋅ G ⋅ r ⋅ dr ⋅ dα .   Проекция     момента     этой    силы       на    ось    «OZ»    равна
                 h
                 ϕ
dM z = r ⋅ dF = ⋅ G ⋅ r 3 ⋅ dr ⋅ dα . Интегрируя по площади верхнего сечения цилиндрического слоя, получаем
                 h
                         r       2π                    4
                  ϕ       0
                                           ϕ      π ⋅ r0
M z = ∫∫ dM z =     ⋅ G ⋅ ∫ r 3 ⋅ dr ∫ dα = ⋅ G ⋅        (через r0 обозначен внешний радиус цилиндра).
       (S )
                  h       0          0
                                           h         2
    Проекция момента внешних сил на ось «OZ», т.е. М, приложенных к верхнему сечению всего цилиндра,
равна найденной проекции момента сил упругости:
                                                   4
                                         π ⋅ G ⋅ r0
                                      M=            ⋅ϕ                                                   (11.6)
                                            2⋅h
    Сравнивая это выражение с формулой (11.5), находим выражения для модуля кручения:
                                                              4
                                                 π ⋅ G ⋅ r0
                                            f=                                                           (11.7)
                                                    2⋅h


6. Чистое кручение при деформации цилиндрической пружины



                                              L+ΔL



                  -F                                                         F
                       φD




Рис. 11.11 Цилиндрическая пружина диаметром D и длиной L , подверженная растяжению до длины
                                                                                        r
              L + ΔL двумя равными и противоположно направленными вдоль ее оси силами ± F .

        Будем рассматривать пружину, как винтовую линию с пренебрежимо малым шагом, таким что каждый
ее виток перпендикулярен силам, действующим на пружину. Момент сил, действующий в любом сечении вит-
ка пружины в таком случае постоянной величиной, равной F ⋅ R , где R − радиус пружины. Вектор момента
сил направлен по касательной к витку, и следовательно, вызывает деформацию чистого кручения витков пру-
жины. Следствием этой деформации будет изменение длины пружины, т.е. ее линейная деформация. Просле-
дим геометрическую связь деформации кручения бесконечно малого элемента витка пружины dh1 и удлине-