Определение модуля сдвига при помощи крутильных колебаний. Кузьменко В.С. - 8 стр.

                                                                                                               8
радиальном направлении, dϕ ⎯ угловая деформация кручения цилиндрического слоя, γ ⎯ угловая деформация
сдвига б.м. объема, Δ ⎯ линейное перемещение верхней грани б.м. кубика относительно нижней при деформа-
ции сдвига, τ ⎯ касательные напряжения сдвига на гранях б.м. кубика, параллельных основаниям цилиндра (на
двух других гранях имеются касательные напряжения той же величины, но они не показаны на рисунке).
     Выразим угловую деформацию кручения dϕ через угол кручения цилиндра ϕ. Поскольку все бесконечно
тонкие слои одинаковой толщины dz испытывают воздействие одинаковых скручивающих моментов сил, их
деформации dϕ одинаковы. Отсюда вытекает, что угол кручения цилиндра, имеющего высоту h, равен произ-
                                                                h                   dz
ведению dϕ на количество слоев толщиной dz, т.е. ϕ = dϕ ⋅         . Откуда dϕ = ϕ ⋅    .
                                                               dz                   h
     Найдем теперь угловую деформацию сдвига γ. Для этого выразим линейное смещение верхней грани Δ, с
                                                                                      dϕ      r
одной стороны, через γ, а с другой ⎯ через dϕ: Δ = γ ⋅ dz = r ⋅ dϕ . Отсюда γ = r ⋅      = ϕ ⋅ . Вычислим момент
                                                                                      dz      h
сил упругости через касательные напряжения τ. Используем закон Гука для деформации сдвига (11.4) и полу-
                      r
чаем: τ = γ ⋅ G = ϕ ⋅ ⋅ G . К грани кубика с площадью dS = dr ⋅ r ⋅ dα приложена касательная сила
                      h
                  r
dF = τ ⋅ dS = ϕ ⋅ ⋅ G ⋅ r ⋅ dr ⋅ dα .   Проекция      момента      этой    силы       на    ось    «OZ»    равна
                 h
                 ϕ
dM z = r ⋅ dF = ⋅ G ⋅ r 3 ⋅ dr ⋅ dα . Интегрируя по площади верхнего сечения цилиндрического слоя, получаем
                 h
                        R         2π
                 ϕ                      ϕ     π ⋅ R4
M z = ∫∫ dM z = ⋅ G ⋅ ∫ r 3 ⋅ dr ∫ dα = ⋅ G ⋅        (через R обозначен внешний радиус цилиндра).
      (S)        h      0          0    h        2
     Проекция момента внешних сил на ось «OZ», т.е. М, приложенных к верхнему сечению всего цилиндра,
равна найденной проекции момента сил упругости:
                                                   π ⋅ G ⋅ R4
                                             M=               ⋅ϕ                                          (11.6)
                                                       2⋅h
                                                                                                 π ⋅ G ⋅ R4
     Сравнивая это выражение с формулой (11.5), находим выражения для модуля кручения: f =                  , от-
                                                                                                     2⋅h
куда выражаем модуль сдвига:
                                                         2⋅h
                                             G=f⋅                                                         (11.7)
                                                     π ⋅ G ⋅ R4
     Таким образом, определение модуля сдвига может быть сведено к нахождению модуля кручения цилиндра
известных размеров. Для этой цели в данной лабораторной работе изучаются крутильные колебания цилиндри-
ческой проволоки постоянного радиуса, верхнее сечение которой закреплено неподвижно, а к нижнему сече-
нию прикреплено симметричное относительно оси проволоки тело, обладающее достаточным моментом инер-
ции. В качестве такого тела используется стержень, на котором симметрично закреплены два груза.
     На рис.11.11 изображена схема экспериментальной установки. Центры масс обоих грузов закреплены на
одинаковом расстоянии l от оси проволоки. Показан положительный относительно оси «OZ» угол поворота
стержня ϕ относительно положения его равновесия. Этот поворот вызывает противодействующий момент сил
           r
упругости M , проекция которого на ось «OZ» отрицательна (при ϕ > 0 ). Исходя из этого, запишем закон Гука
для кручения проволоки (11.5) в виде M z = −f ⋅ ϕ
     Запишем уравнение движение тела, подвешенного на проволоке:
                                                         d 2ϕ
                                             Mz = Ιz ⋅ 2 ,
                                                         dt
где Iz ⎯ момент инерции стержня с грузами относительно оси «OZ»; ϕ ⎯ угол поворота тела, равный углу
                                                                                              d2ϕ
кручения проволоки. Используя закон Гука, перепишем уравнение движения в виде: − f ⋅ ϕ = Ι z ⋅ 2 или
                                                                                              dt
                                                      d2ϕ
                                                 Iz ⋅ 2 + f ⋅ϕ = 0 .                                      (11.8)
                                                      dt