Составители:
Рубрика:
22
Приложение 3.
Интегрирование правильных рациональных дробей
№
подынтегральное
выражение
преобразования замена
dx
I.
bax +
1
tbax
=
+
a
dt
dx =
II.
m
bax )(
1
+
tbax
=
+
a
dt
dx =
III.
qpxx ++
2
1
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
42
1
2
2
p
q
p
x
t
p
x =+
2
dtdx =
IV.
qpxx
NMx
++
+
2
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
42
2
2
p
q
p
x
NMx
,
2
t
p
x =+
dtdx =
и разбиваем
подынтегральное
выражение на два
интеграла
V.
n
qpxx )(
1
2
++
p
q
p
x
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
42
1
2
2
t
p
x =+
2
dtdx =
и применяем рекуррентную формулу
.
)(
)22(
32
))(22()(
12122
∫∫
−−
+
−
−
+
+−
=
+
nnn
st
dt
ns
n
stns
t
st
dt
m, n – натуральные числа (m ≥ 2, n ≥ 2) и D <0.
Теорема (метод неопределенных коэффициентов). Если
)(
)(
)(
xP
xQ
xf =
- пра-
вильная рациональная дробь, где знаменатель имеет вид:
P(x) = (x - a)
α
…(x - b)
β
(x
2
+ px + q)
λ
…(x
2
+ rx + s)
μ
),
то эта дробь может быть разложена на сумму простейших дробей:
,
)(
...
)(
...
)(
...
)(
)(
...
)(
)(
...
)(
...
)(
)(
)(
222
22
2
11
222
22
2
11
2
21
2
21
μ
μμ
λ
λλ
β
β
α
α
srxx
SxR
srxx
SxR
srxx
SxR
qpxx
NxM
qpxx
NxM
qpxx
NxM
bx
B
bx
B
bx
B
ax
A
ax
A
ax
A
xP
xQ
++
+
++
++
+
+
++
+
++
++
+
++
++
+
+
+
++
+
+
−
++
−
+
−
++
−
++
−
+
−
=
где
A
i
, B
i
, M
i
, N
i
, R
i
, S
i
– некоторые постоянные величины.
Приложение 3.
Интегрирование правильных рациональных дробей
подынтегральное
№ преобразования замена dx
выражение
1 dt
I. ax + b = t dx =
ax + b a
1 dt
II. ax + b = t dx =
(ax + b) m a
1
1 2 p dx = dt
III. ⎛ p⎞ ⎛ p2 ⎞ x+ =t
x + px + q
2
⎜ x + ⎟ + ⎜⎜ q − ⎟ 2
⎝ 2⎠ ⎝ 4 ⎟⎠
Mx + N dx = dt и разбиваем
Mx + N 2 p подынтегральное
IV. ⎛ p⎞ ⎛ p2 ⎞ x+ = t,
x + px + q
2
⎜
⎜ x + ⎟ + ⎜q − ⎟ 2 выражение на два
⎝ 2⎠ ⎝ 4 ⎟⎠
интеграла
1
⎛⎛ 2 2 ⎞
⎜ ⎜ x + p ⎞⎟ + ⎛⎜ q − p ⎞⎟ ⎟
1 p dx = dt
V. x+ =t
( x + px + q ) n ⎜⎝ 2 ⎠ ⎜⎝ 4 ⎟⎠ ⎟⎠
2
⎝ 2
и применяем рекуррентную формулу
dt t 2n − 3 dt
∫ (t 2 + s) n = s(2n − 2)(t 2 + s) n −1 + s(2n − 2) ∫ (t 2 + s) n −1 .
m, n – натуральные числа (m ≥ 2, n ≥ 2) и D <0.
Q( x)
Теорема (метод неопределенных коэффициентов). Если f ( x) = - пра-
P( x)
вильная рациональная дробь, где знаменатель имеет вид:
P(x) = (x - a)α…(x - b)β(x2 + px + q)λ…(x2 + rx + s)μ ),
то эта дробь может быть разложена на сумму простейших дробей:
Q( x) A A2 Aα B1 B2 Bβ M x + N1
= 1 + + ... + α
+ ... + + + ... + β
+ 21 +
P ( x) x − a ( x − a ) 2
( x − a) ( x − b ) ( x − b) 2
( x − b) x + px + q
где
M 2x + N2 M λ x + Nλ R1 x + S1 R2 x + S 2 Rμ x + S μ
+ 2 + ... + 2 + ... + 2 + + ... + 2 ,
( x + px + q ) 2 ( x + px + q) λ x + rx + s ( x 2 + rx + s ) 2 ( x + rx + s) μ
Ai, Bi, Mi, Ni, Ri, Si – некоторые постоянные величины.
22
