Составители:
Рубрика:
24
Приложение 5.
Интегрирование иррациональных функций
№
подынтегральное
выражение
преобразования замена
dx
1.
bax
dx
+
tbax =+
a
tdt
dx
tbax
2
2
=
=+
2.
qpxx
dx
++
2
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
42
2
2
p
q
p
x
dx
t
p
x =+
2
d
t
dx =
3.
dx
qpxx
nmx
++
+
2
dx
p
q
p
x
nmx
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
4
2
2
2
t
p
x =+
2
d
t
dx =
4.
()
qpxxax
dx
++−
2
t
a
x
=
−
1
,
a
t
x +=
1
2
1
t
dt
dx
−
=
5.
∫
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
dx
dcx
bax
xR
n
,
,
где
Nn ∈
;t
dcx
bax
n
=
+
+
n
n
n
cta
bt
x
t
dcx
bax
−
−
=
=
+
+
;
dt
cta
bt
dx
n
n
′
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
Тригонометрические подстановки
№
подынтегральное
выражение
замена
dt
1
(
)
22
, tmtR −
)sin(zmt
=
или
)cos(zmt
=
dzzmdt )cos(=
или
dzzmdt )sin(−=
2
(
)
22
, mttR −
)cos(z
m
t =
или
)sin(z
m
t =
dz
z
zm
dt
)(
2
cos
)sin(
=
или
dz
z
zm
dt
)(
2
sin
)cos(−
=
3
(
)
22
, mttR +
)(xtgmt
⋅
=
или
)(zctgmt
⋅
=
dz
z
m
dt
)(
2
cos
=
или
dz
z
m
dt
)(
2
sin
−
=
Приложение 5.
Интегрирование иррациональных функций
подынтегральное
№ преобразования замена dx
выражение
ax + b = t 2
dx
1. ax + b = t 2tdt
ax + b dx =
a
dx
dx p
dx = dt
2
2. ⎛ p⎞ ⎛ p2 ⎞ x+ =t
x + px + q
2
⎜ x + ⎟ + ⎜⎜ q − ⎟ 2
⎝ 2⎠ ⎝ 4 ⎟⎠
mx + n
mx + n dx
2 ⎛ p
3. dx ⎛ p⎞ p 2 ⎞⎟ x+ =t dx = dt
x + px + q
2
⎜ x + ⎟ + ⎜q − 2
⎝ 2⎠ ⎜ 4 ⎟
⎝ ⎠
1
=t,
dx x−a − 1dt
4. dx =
(x − a ) x + px + q
2
1 t2
x= +a
t
ax + b
n = t;
⎛ cx + d ′
ax + b ⎞ ⎛ tn −b ⎞
5. ∫ R⎜⎜ x, n cx + d ⎟⎟dx , ax + b n
=t ; dx= ⎜⎜ ⎟ dt
n⎟
⎝ ⎠ cx + d ⎝ a − ct ⎠
где n ∈ N tn − b
x=
a − ct n
Тригонометрические подстановки
подынтегральное
№ замена dt
выражение
1 (
R t, m 2 − t 2 ) t = m sin( z ) или t = m cos(z )
dt = m cos( z )dz или
dt = − m sin( z ) dz
m sin( z )
dt = dz или
cos 2 ( z )
2 (
R t, t 2 − m 2 ) t=
m
cos(z )
или t =
m
sin(z )
dt =
− m cos( z )
dz
sin 2 ( z )
m
dt = dz или
2
3 (
R t, t 2 + m 2 ) t = m ⋅ tg (x ) или t = m ⋅ ctg (z )
dt =
cos ( z )
−m
dz
sin 2 ( z )
24
