Составители:
Рубрика:
23
Приложение 4.
Интегрирование тригонометрических функций
№ подынтегральное
выражение
замена
dx
1.
dxxxR ))cos(),(sin(
универсальная замена
),(2,
2
tarctgx
x
tgt =
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
2
2
2
1
1
)cos(,
1
2
)sin(
t
t
x
t
t
x
+
−
=
+
=
2
1
2
t
dt
dx
+
=
2.
,))(cos),((sin dxxxR
mn
числачетныеmиn −
,
1
)(sin),(
2
2
2
t
t
xxtgt
+
==
2
2
1
1
cos
t
x
+
=
2
1 t
dt
dx
+
=
3.
dxxtgR ))((
)(),( tarctgxxtgt
=
=
2
1 t
dt
dx
+
=
4.
,))(cos),((sin dxxxR
mn
,нечетнаяn −
.четнаяm −
tx
=
)cos(
222
1)(cos1)(sin txx −=−=
dtdxx
−
=)sin(
5.
,))(cos),((sin dxxxR
mn
,четнаяn −
.нечетнаяm −
tx
=
)sin(
222
1)(sin1)(cos txx −=−=
dtdxx =)cos(
6.
0,
,))(cos)((
,))(sec)((
>− nчетноеn
dxxecxctgR
dxxxtgR
nm
nm
txtg
=
)(
, )(sec)(1
22
xxtg =+
txctg
=
)(
, )(cos)(1
22
xecxctg =+
dtdxx =)(sec
2
dtdxxec =− )(cos
2
7.
dxxx
mn
)(cos)(sin
22
⋅
Понизить степень по формуле
2
)2sin(
)cos()sin(,
2
)2cos(1
)(sin,
2
)2cos(1
)(cos
22
x
xx
x
x
x
x =⋅
−
=
+
=
8.
.)cos()cos(
,)sin()sin(
,)cos()sin(
dxxx
dxxx
dxxx
βα
βα
β
α
⋅
⋅
⋅
2
))cos(())cos((
,
2
))cos(())cos((
,
2
))sin(())sin((
xx
xxxx
βαβα
βαβαβαβα
++−
+−−++−
9.
,))((sec
12
dxxR
n+
.))((cos
12
dxxecR
n+
Применяются рекуррентные формулы
∫∫
−+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+= dxx
n
xn
x
dxx
n
n
n
)(sec
2
1
1
)(cos2
)sin(
)(sec
12
2
12
∫∫
−+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+
−
= dxxec
n
xn
x
dxxec
n
n
n
)(cos
2
1
1
)(sin2
)cos(
)(cos
12
2
12
Приложение 4.
Интегрирование тригонометрических функций
№ подынтегральное замена dx
выражение
1. универсальная замена
⎛ x⎞
t = tg ⎜ ⎟, x = 2arctg (t ), 2dt
R (sin( x ), cos( x )) dx ⎝ 2⎠ dx =
1+ t2
2t 1− t 2
sin( x) = , cos( x) =
1+ t2 1+ t2
2. t2
t = tg ( x), sin 2 ( x) = ,
R(sin n ( x), cos m ( x))dx, 1+ t2 dt
dx =
n и m − четные числа
cos 2 x =
1 1+ t2
1+ t2
3. dx =
dt
R (tg ( x )) dx t = tg ( x ), x = arctg (t )
1+ t2
4. R(sin n ( x), cos m ( x))dx,
cos( x ) = t
n − нечетная , sin( x ) dx = − dt
sin ( x) = 1 − cos 2 ( x) = 1 − t 2
2
m − четная .
5. R(sin n ( x), cos m ( x))dx,
sin( x) = t
n − четная , cos( x ) dx = dt
cos 2 ( x) = 1 − sin 2 ( x) = 1 − t 2
m − нечетная .
6. R (tg m ( x) sec n ( x))dx, sec 2 ( x) dx = dt
tg ( x ) = t , 1 + tg 2 ( x) = sec 2 ( x)
R (ctg m ( x) cos ec n ( x))dx, − cos ec 2 ( x)dx = dt
ctg ( x ) = t , 1 + ctg ( x) = cos ec ( x)
2 2
n − четное, n > 0
7. Понизить степень по формуле
1 + cos(2 x) 1 − cos(2 x) sin( 2 x)
sin ( x) ⋅ cos ( x)dx
2n 2m
cos ( x) =
2
, sin 2 ( x) = , sin( x) ⋅ cos( x) =
2 2 2
8. sin((α − β ) x ) + sin((α + β ) x ) cos((α − β ) x) − cos((α + β ) x)
sin(αx) ⋅ cos( βx)dx, , ,
2 2
sin(αx) ⋅ sin( βx)dx, cos((α − β ) x) + cos((α + β ) x)
cos(αx) ⋅ cos( βx)dx. 2
9. Применяются рекуррентные формулы
sin( x) ⎛ 1 ⎞
∫ sec + ⎜1 − ⎟ ∫ sec 2 n −1 ( x)dx
2 n +1
R (sec 2 n +1 ( x))dx, ( x)dx =
2n
2n cos ( x) ⎝ 2n ⎠
R(cos ec 2 n +1 ( x))dx.
− cos( x) ⎛ 1 ⎞
∫ cos ec ( x)dx = 2n sin 2n ( x) + ⎜⎝1 − 2n ⎟⎠∫ cos ec ( x)dx
2 n +1 2 n −1
23
