Дифференциальная геометрия. Исследование пространственных кривых с помощью пакета Mathematica. Кузьмина И.А. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Найти единичные векторы касательной, главной нормали и
бинормали в произвольной точке следующей кривой:
x=cos
3
(t), y=sin
3
(t) , z=cos(2t).
Зададим кривую:
f[t_]:={Cos[t]^3,Sin[t]^3,Cos[2t]}
Построим ее:
ParametricPlot3D[Evaluate[f[t]],{t,0,2Pi}]
-1
-0.5
0
0.5
1
-1
-0.5
0
0.5
1
-1
-0.5
0
0.5
1
-1
-0.5
0
0.5
1
-0.5
0
0.5
Рис. 30.
Так как вектора надо искать единичные, введем норму вектора:
Norm[v_]:=Sqrt[v.v]
Теперь единичный касательный вектор:
utv[t]=D[f[u],u]/Norm[D[f[u],u]]/.u→t
:-
3cos
2
HtLsinHtL
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
9sin
2
HtLcos
4
HtL+9sin
4
HtLcos
2
HtL+ 4sin
2
H2 tL
,
3cos
HtLsin
2
HtL
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
HL HL
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
9sin
2
t cos
4
t +9sin
4
HtLcos
2
HtL+ 4sin
2
H2tL
, -
2sinH2tL
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
9sin
2
HtLcos
4
HtL+ 9sin
4
HtLcos
2
HtL+4sin
2
H2tL
>
Упростим
Simplify[%]
:-
6cos
2
H
t
LsinH
t
L
5
"##################
H Lsin
2
2 t
,
6cos
H
t
Lsin
2
H
t
L
5
###########
sin
2
H2 tL
, -
4
5
csc
H2 tL
"##################
sin
2
H2 tL>
"#######
PowerExpand[%]
:-
6
5
cos
2
t csc 2 t sin t ,HL H L HL
6
5
cos
t csc 2 t sin
2
t , -
4
HL H L HL
5
>
Теперь единичный вектор главной нормали:
unv[t]=nv[f][u]/Norm[nv[f][u]]/.u→t
30
Найти единичные векторы касательной, главной нормали и
бинормали в произвольной точке следующей кривой:
x=cos3(t), y=sin3(t) , z=cos(2t).
Зададим кривую:
 f[t_]:={Cos[t]^3,Sin[t]^3,Cos[2t]}
 Построим ее:
 ParametricPlot3D[Evaluate[f[t]],{t,0,2Pi}]
                                                                         1
                                                               0.5
                                                        0
                                                -0.5
                                      -1
                                  1


                                0.5


                                       0


                                  -0.5

                                           -1
                                            -1
                                                  -0.5
                                                                     0
                                                                              0.5
                                                                                                1



                                                                         Рис. 30.

Так как вектора надо искать единичные, введем норму вектора:
 Norm[v_]:=Sqrt[v.v]
 Теперь единичный касательный вектор:

                            3cos2HtL sinHtL
 utv[t]=D[f[u],u]/Norm[D[f[u],u]]/.u→t
:- è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ,
     9 sin2HtL cos4HtL + 9sin4HtL cos2HtL + 4 sin2H2 tL
                            3 cosHtL sin2HtL                                                                    2 sinH2tL
   è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! , - è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! >
     9 sin2HtL cos4HtL + 9 sin4HtL cos2HtL + 4sin2H2tL                               9sin2HtL cos4HtL + 9 sin4HtL cos2HtL + 4sin2H2tL
  Упростим

   6 cos2HtL sinHtL 6 cosHtL sin2 HtL                          "##################
 Simplify[%]
:-                                               , - cscH2 tL sin2H2 tL >
                                                    4
     "##################    "####### ###########
   5 sin2 H2 tL            5 sin2H2 tL
                         ,
                                                    5
 PowerExpand[%]
:- cos H tL cscH 2 tL sinH tL ,          cosHtL cscH2 tL sin2HtL, - >
   6     2                         6                                 4
   5                               5                                 5
  Теперь единичный вектор главной нормали:
 unv[t]=nv[f][u]/Norm[nv[f][u]]/.u→t




                                                                                                                                                                  30

Страницы