Колебания и волны. Геометрическая и волновая оптика. Кузнецов С.И. - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

57
5.6. Волновое уравнение
Уравнение любой волны есть решение некоторого дифференци-
ального уравнения, называемого
волновым. Найдем общий вид волно-
вого уравнения. Для этого продифференцируем дважды уравнение пло-
ской волны по времени t и всем координатам:
)ω(cosξ k
r
t
A
−
=
,
()
ξωωcosω
ξ
22
2
2
−=−−=
∂
∂
krtA
t
,
2
2
2
ξ
ω
1
ξ
t
∂
∂
−=
, (5.6.1)
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
−=−−=
∂
∂
−=−−=
∂
∂
−=−−=
∂
∂
.ξ)ω(cos
ξ
,ξ)ω(cos
ξ
,ξ)ω(cos
ξ
22
2
2
22
2
22
2
2
zz
yy
xx
kkrtAk
z
kkrtAk
y
kkrtAk
x
(5.6.2)
Сложим уравнения (5.6.2):
ξξ)(
ξξξ
2222
2
2
2
2
2
2
kkkk
zyx
zyx
−=++−=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
. (5.6.3)
Подставим из (5.6.1) значение ξ , и получим:
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
ξ
ω
ξξξ
t
k
zyx ∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
.
Учтем, что
k
/
ω
υ
= , а окончательно получим для волнового уравнения
2
2
22
2
2
2
2
2
ξ
υ
1ξξξ
tzyx ∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
. (5.6.4)
Всякая функция, удовлетворяющая уравнению (5.6.4), описывает
некоторую волну, причем корень квадратный из величины, обратной
коэффициенту при производной по времени
2
υ
/
1
, есть фазовая ско-
рость волны.
Используя оператор Лапласа
2
2
2
2
2
2
2
zyx ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇ ,
волновое урав-
нение
можно записать в виде
2
2
2
2
ξ
υ
1
ξ
t
∂
∂
=∇ . (5.6.6)

Страницы