Электронные промышленные устройства. Кузнецов Б.Ф. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

АГТА | Ангарск

Составители: 

Рубрика: 

15
стотного спектра по 90%-ному содержанию мощности, можно воспользоваться следующей
формулой (см. рис. 1.7 и рис. 1.8):
(1.7)
откуда видно, что определяется главным образом длительностью прямоугольного импульса
її
.
1.2.3. Непрерывные преобразования Фурье
Частотный спектр непериодического сигнала формально можно получить из спектра соот-
ветствующего периодического сигнала, принимая
T ! 1T ! 1
в формулах (1.1). В этом случае разность
частот между двумя соседними гармониками
!
1
= 2ј / T!
1
= 2ј / T
стремится к нулю, т. е. частотный спектр
из дискретного (линейчатого) становится непрерывным (сплошным). Если функция
x (t)x (t)
, описы-
вающая исследуемый сигнал, на любом конечном интервале удовлетворяет условиям Дирихле и,
кроме того, является абсолютно интегрируемой на бесконечном промежутке (-, +), т. е.:
,
(или прямым преобразованием Фурье):
(1.8)
Для выяснения физического смысла прямого преобразования Фурье (1.8) приведем формулу
обратного преобразования Фурье, осуществляющего обратный переход от изображения
X (j ! )X (j ! )
к
оригиналу - временной функции
x (t)x (t)
:
(1.9)
Отсюда видно, что интеграл Фурье позволяет представить непериодическую функцию
x (t)x (t)
в виде суммы бесконечного числа гармоник с бесконечно малыми амплитудами:
,
и с частотами, занимающими диапазон от – до +. Таким образом, изображение
X (j ! )X (j ! )
характе-
ризует плотность распределения амплитуд гармонических составляющих по отдельным участкам
спектра и поэтому нередко называется спектральной плотностью сигнала. Полученное изображе-
ние:
X (j ! ) = X (! )e
j µ(! )
;X (j ! ) = X (! )e
j µ(! )
;
(1.10)
где
- амплитудный частотный спектр;
Ј (! ) = arg(X (j ! ))Ј (! ) = arg(X (j ! ))
- фазовый частотный
спектр сигнала.
При определении энергии сигнала можно воспользоваться равенством Парсеваля:
W =
+ 1
Z
Ў 1
x
2
(t)dt =
1
2ј
+ 1
Z
Ў 1
X
2
(! )d! :W =
+ 1
Z
Ў 1
x
2
(t)dt =
1
2ј
+ 1
Z
Ў 1
X
2
(! )d! :
(1.11)
В левой части равенства записано выражение для полной энергии сигнала во временной
области, в правой - та же энергия, но подсчитанная в частотной области, с учетом характера рас-
пределения амплитудного частотного спектра.
Найдем частотный спектр одиночного прямоугольного импульса, принимающего значение
E
на интервале
[Ўї / 2; ї / 2][Ўї / 2; ї / 2]
.
Используя (1.8) несложно получить: 
                                                                                               15

стотного спектра       по 90%-ному содержанию мощности, можно воспользоваться следующей
формулой (см. рис. 1.7 и рис. 1.8):

                                                                                             (1.7)

откуда видно, что     определяется главным образом длительностью прямоугольного импульса ї .


                       1.2.3. Непрерывные преобразования Фурье

      Частотный спектр непериодического сигнала формально можно получить из спектра соот-
ветствующего периодического сигнала, принимая T ! 1 в формулах (1.1). В этом случае разность
частот между двумя соседними гармониками ! 1 = 2ј / T стремится к нулю, т. е. частотный спектр
из дискретного (линейчатого) становится непрерывным (сплошным). Если функция x (t), описы-
вающая исследуемый сигнал, на любом конечном интервале удовлетворяет условиям Дирихле и,
кроме того, является абсолютно интегрируемой на бесконечном промежутке (-, +), т. е.:

                                                           ,

(или прямым преобразованием Фурье):

                                                                                             (1.8)

      Для выяснения физического смысла прямого преобразования Фурье (1.8) приведем формулу
обратного преобразования Фурье, осуществляющего обратный переход от изображения X (j ! ) к
оригиналу - временной функции x (t):

                                                                                             (1.9)

       Отсюда видно, что интеграл Фурье позволяет представить непериодическую функцию x (t)
в виде суммы бесконечного числа гармоник с бесконечно малыми амплитудами:
                                                                 ,

и с частотами, занимающими диапазон от – до +. Таким образом, изображение X (j ! ) характе-
ризует плотность распределения амплитуд гармонических составляющих по отдельным участкам
спектра и поэтому нередко называется спектральной плотностью сигнала. Полученное изображе-
ние:
                                                     X (j ! ) = X (! )ej µ(! ) ;            (1.10)
где X (! ) = jX (j ! )j - амплитудный частотный спектр; Ј (! ) = arg(X (j ! ))- фазовый частотный
спектр сигнала.
      При определении энергии сигнала         можно воспользоваться равенством Парсеваля:
                                                Z
                                                +1                      Z
                                                                        +1
                                                       2         1
                                           W=         x (t)dt =              X 2 (! )d! :   (1.11)
                                                                2ј
                                                Ў1                    Ў1

      В левой части равенства записано выражение для полной энергии сигнала       во временной
области, в правой - та же энергия, но подсчитанная в частотной области, с учетом характера рас-
пределения амплитудного частотного спектра.
      Найдем частотный спектр одиночного прямоугольного импульса, принимающего значение
E на интервале [Ўї / 2; ї / 2].
      Используя (1.8) несложно получить:

Страницы