Электронные промышленные устройства. Кузнецов Б.Ф. - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

АГТА | Ангарск

Составители: 

Рубрика: 

47
вания цифровых систем. Начало использованию алгебры логики для синтеза переключательных (ре-
лейных) схем было положено в 1938 г. работами американского ученого К. Шеннона.
Алгебра логики определяется следующей системой аксиом:
1. Аксиомы конъюнкции:
0 ў0 = 0
;
1ў1 = 1
;
1ў0 = 0
;
0 ў1 = 0
.
2. Аксиомы дизъюнкции:
0 _ 0 = 0
;
1_ 1 = 1
;
1 _ 0 = 1
;
0_ 1 = 1
.
3. Аксиомы отрицания:если
x = 0
, то
№x = 1
;
Теоремы булевой алгебры
4. Операции с константами:
x ў1 = x
;
x ў0 = 0
;
x _ 1 = 1
;
;
№
0 = 1
;
№
1 = 0
5. Идемпотентность (тавтология, повторение):
x ўx = x
;
x ўx ўx::: ўx = x
x _ x _ x : : : _ x = x
6. Противоречие:
x ў№x = 0
7. Правило "исключенного третьего":
x _ №x = 1
8. Двойное отрицание (инволюция):
№
№x = x
Законы и тождества булевой алгебры
9. Ассоциативность (ассоциативный закон):
(x _ y) _ z = x _ (y _ z)(x _ y) _ z = x _ (y _ z)
,
(x ўy) ўz = x ў(y ўz)
10. Коммутативность (коммутативный закон ) :
x _ y = y _ x ; x ўy = y ўx
11. Дистрибутивность (дистрибутивный закон):
конъюнкции относительно дизъюнкции:
x ў(y _ z) = x ўy _ x ўz;
дизъюнкции относительно конъюнкции:
x _ y ўz = (x _ y) ў(x _ z) :
12. Законы де Моргана (законы инверсии или отрицания):
x _ y = x ўy;x ўy = x _ y:
Расширенный закон де Моргана:
x _ y _ z _ ::: = №x ў№y ў№z:::
;
.
Правилабулевой алгебры.
13. Поглощение (элиминация):
x _ x ўy = x ў(1_ y) = x; x ў(x _ y) = (x _ x ўy) = x:
14. Закон Блейка-Порецкого:
x
1
_ №x
1
x
2
= x
1
_ x
2
; x
1
(№x
1
_ x
2
) = x
1
x
2
15. Склеивание (объединение):
(x
1
_ x
2
) (x
1
_ №x
2
) = x
1
; x
1
x
2
_ x
1
№x
2
= x
1
;
x ўy _ x ўz _ y ўz = x ўy _ x ўz
(x _ y) ў(x _ z) ў(y _ z) = (x _ y) ў(x _ z)
ѕ
Справедливость этих соотношений можно доказать путем выделения на диаграммах Венна
соответствующих пересечений и объединений подмножеств, установления эквивалентности пра-
вой и левой частей формул. При использовании приведенных соотношений и тождественных пре-
образований можно упрощать записи и минимизировать логические выражения в смысле умень-
                                                                                         47

вания цифровых систем. Начало использованию алгебры логики для синтеза переключательных (ре-
лейных) схем было положено в 1938 г. работами американского ученого К. Шеннона.
      Алгебра логики определяется следующей системой аксиом:
1. Аксиомы конъюнкции: 0 ў0 = 0; 1 ў1 = 1; 1 ў0 = 0; 0 ў1 = 0.
2. Аксиомы дизъюнкции: 0 _ 0 = 0; 1 _ 1 = 1; 1 _ 0 = 1; 0 _ 1 = 1.
3. Аксиомы отрицания:если x = 0, то x№= 1;
                                       Теоремы булевой алгебры
4. Операции с константами:        x ў1 = x ;x ў0 = 0;
                                  x _ 1 = 1; x _ 0 = x ;
                                  0 = 1; №
                                  №      1= 0
5. Идемпотентность (тавтология, повторение):
                                  x ўx = x;
                                     x ўx ўx : : : ўx = x

                                     x _ x _ x ::: _ x = x
6. Противоречие:                 x ў№
                                    x= 0
7. Правило "исключенного третьего":  x _ x№= 1
8. Двойное отрицание (инволюция):    №x= x
                               Законы и тождества булевой алгебры
9. Ассоциативность (ассоциативный закон):
                        (x _ y) _ z = x _ (y _ z), (x ўy) ўz = x ў(y ўz)
10. Коммутативность (коммутативный закон ) :
                                 x _ y = y _ x ; x ўy = y ўx
11. Дистрибутивность (дистрибутивный закон):
      конъюнкции относительно дизъюнкции:
                                    x ў(y _ z) = x ўy _ x ўz;
       дизъюнкции относительно конъюнкции:
                                  x _ y ўz = (x _ y) ў(x _ z) :
12. Законы де Моргана (законы инверсии или отрицания):
                                      x _ y = x ўy; x ўy = x _ y:
      Расширенный закон де Моргана:
                                                        №ў№
                                      x _ y _ z _ ::: = x y ў№
                                                             z : : :;
                                                                      .
                                       Правилабулевой алгебры.
13. Поглощение (элиминация):
                     x _ x ўy = x ў(1 _ y) = x; x ў(x _ y) = (x _ x ўy) = x:
14. Закон Блейка-Порецкого:
                              x 1 _ x№
                                     1 x 2 = x 1 _ x 2 ; x 1 (№
                                                              x1 _ x2) = x1x2
15. Склеивание (объединение):
                                            №
                          (x1 _ x 2) (x 1 _ x 2) = x1;      x 1x 2 _ x 1x№
                                                                         2 = x 1;
                                                                                ѕ
                          x ўy _ x ўz _ y ўz = x ўy _ x ўz
                          (x _ y) ў(x _ z) ў(y _ z) = (x _ y) ў(x _ z)
      Справедливость этих соотношений можно доказать путем выделения на диаграммах Венна
соответствующих пересечений и объединений подмножеств, установления эквивалентности пра-
вой и левой частей формул. При использовании приведенных соотношений и тождественных пре-
образований можно упрощать записи и минимизировать логические выражения в смысле умень-

Страницы