Электронные промышленные устройства. Кузнецов Б.Ф. - 45 стр.

                                                                                                          45

Возможны четыре вида логических связей между состоянием контакта и свечением лампы:              ,
лампа не горит независимо от состояния контакта (нулевая функция);          лампа горит, если кон-
такт замкнут (повторение )-последовательный выключатель;             , лампа горит, если контакт
разомкнут (инверсия x ); контакт параллелен лампе, в цепи есть сопротивление, которое устраняет
короткое замыкание;        , лампа горит независимо от состояния контакта (единичная функция).
       Удобной формой графического представления логических зависимостей служат диаграммы
Венна. Имеем полное множество значений аргумента, изображенное прямоугольником (рис. 2.1,
а). Часть этого множества — подмножество — ограничено кружком, внешность этого кружка




                          a)                       б)                                    в)
Рис. 2.1. Диаграммы Венна: а - подмножества x и x№; б— пересечение подмножеств; в — объединение под-
множеств дает подмножество x , дополняющее x до полного множества.

          Функция                может принимать значение 1 на одном или обоих из подмножеств или
остается равной нулю.
          Логические функции двух аргументов помогают перейти к функциям любого числа аргу-
ментов. Пусть имеем два аргумента x 1и x 2. Это могут быть те же контакты или любые два объек-
та, каждый из которых может находиться в одном из двух состояний. Оценим, сколько различных
функций двух аргументов можно составить. На рис. 2.1, б показаны подмножества x 1 ; x 2 ; x№             №
                                                                                                      1; x 2.
Каждая точка полного множества (прямоугольника) находится в определенном отношении к этим
подмножествам: а) должна принадлежать подмножеству x 1 или x№           1 ; б) должна принадлежать под-
множеству x 2или x№      2 . Введем понятие пересечения подмножеств: это точки множества, принадле-
жащие одновременно обоим подмножествам. Можно выделить четыре таких пересечения. Назовем
их наборами аргументов:                               . Для трех переменных x1; x2; x3 получим во-
семь различных наборов, для и переменных число наборов составит 2n . На такое же число под-
множеств распадается полное множество. Каждое из подмножеств в рамках данной задачи покры-
вает минимальную часть диаграммы Венна, т. е. не делится на более мелкие части, поэтому его
иногда называют минтермом.
          Вернемся к функции f (x). Очевидно, на каждом пересечении всех исходных подмножеств (
x 1 x 2 ; x№
           1x2; x1x №   №
                     2; x 1x №2) функция может принимать значение 0 или 1. Таким образом, для рис.
2.1,6 с четырьмя различными пересечениями можно составить                      различных функций, для и
                                                   2n
аргументов полное множество функций N = 2 . Рассмотрим функции двух аргументов. Для этого
составим табл. 2.1, в первых двух строках которой перечислим все возможные наборы x1; x2. По-
лагаем, что x = 1, x№= 0. Тогда наборы запишутся в виде двоичных чисел: 00, 01, 10, 11. В после-
дующих 16 строках таблицы запишутся 16 различных функций переменных x1; x2. Для удобства
расположим их в порядке возрастания двоичных чисел.
          Если функция зависит не от всех переменных, то она называется вырожденной функций.
Так например функции f 0и f 15не зависят от x1; x2 и называются константными.Функции
f 3; f 5; f 10; f 12 не зависят от одного из аргументов: f 3 = x1, f 5 = x2, f 10 = x№         №
                                                                                     1, f 12 = x2. И только
оставшиеся десять функций являются функциями двух аргументов. Рассмотрим их подробнее.
          Таблица обладает определенной симметрией: функции, равноотстоящие от ее середины,
взаимно инверсны (сравним f 7 = 0111 и f 8 = 1000, f 3 = 0011 и f 12 = 1100), поэтому их удобно
рассматривать попарно. Функция f 1 (логическое умножение, конъюнкция, функция И) принимает
значение 1, когда оба аргумента равны 1. Понятие логического умножения можно распространить
на любое число переменных: f 1 = 1, если x 1 = x 2 = : : : = x n = 1. Обозначения логического
умножения: