Элементы квантовой механики. Кузнецов В.Л - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

2
2
2
max
o
hc
VA
m λ
⎛⎞
=−
⎜⎟
⎝⎠
.
Произведем вычисления:
34 8
19
31 6
2
6
26,6310310
310 м/с
max
9,1 10 0,22 10
1,15 10 мс
V
−
−
−−
⎛⎞
⋅⋅⋅
=
−⋅ ≈
⎜⎟
⋅⋅
⎝⎠
≈⋅
.
Ответ: A = 1,87 эВ (цезий),
5
1
5,8 10 мс
max
V ≈⋅ ,
6
2
1,15 10 мс
max
V ≈⋅
Пример 1
б
Фотон с импульсом P = 1,02 МэВ/с, где с — скорость света, рассеялся на
покоившемся свободном электроне, в результате чего импульс фотона стал
равным P’ = 0,255 МэВ/с. Под каким углом рассеялся фотон и какая доля
энергии первичного фотона приходится на кинетическую энергию электрона
отдачи?
Решение
При столкновении фотона со свободным электроном (рис. 1.2.) выполняет-
ся формула (1.3)
. Запишем ее, выразив длины волн исходного λ и рассеянного
λ′ фотонов через импульсы с помощью формулы (1.1)
()
1cos
o
hh h
θ
PP mc
−= −
′
.
После преобразований получим
1cos
o
PP
mc θ
PP
′
−
⎛⎞
=−
⎜⎟
′
⋅
⎝⎠
.
Тогда
'
arccos 1
'
o
PP
θ mc
PP
⎡−⎤
⎛⎞
=± −
⎜⎟
⎢⎥
⋅
⎝⎠
⎣⎦
. Для облегчения расчетов представим
эту формулу в виде
2
'
arccos 1
'
o
Pc P c
θ mc
Pc P c
⎡−⎤
⎛⎞
=± −
⎜⎟
⎢⎥
⋅
⎝⎠
⎣⎦
,
где m
o
c
2
= 0,511 МэВ — энергия покоя электрона, по условию задачи Pc = 1,02
МэВ, P’c = 0,255 МэВ. После подстановки этих значений получаем
()
1,02 0,255 2
arccos 1 0,511 arccos 0,5
1, 02 0, 255 3
θπ
⎡⎤
−
⎛⎞
=± − ≈± − =±
⎢⎥
⎜⎟
⋅
⎝⎠
⎣⎦
.
Для ответа на второй вопрос задачи используем закон сохранения энергии
E
ф
+ m
o
c
2
=
E
ф
′ + m
o
c
2
+T,
где T — кинетическая энергия электрона отдачи, E
ф
= Pc, E
ф
′ = P′c . 
                                              2 ⎛ hc  ⎞
                                  Vmax =         ⎜ − A⎟ .
                                      2       mo ⎝ λ2 ⎠
    Произведем вычисления:

                           2     ⎛ 6,63 ⋅ 10−34 ⋅ 3 ⋅ 108          −19 ⎞
              Vmax =             ⎜                        − 3 ⋅ 10     ⎟   м/с ≈
                  2  9,1 ⋅ 10−31 ⎝    0,22 ⋅ 10−6                      ⎠           .
               ≈ 1,15 ⋅ 106 м с


Ответ: A = 1,87 эВ (цезий), Vmax ≈ 5,8 ⋅ 105 м с , Vmax ≈ 1,15 ⋅ 106 м с
                                1                      2



    Пример 1б
    Фотон с импульсом P = 1,02 МэВ/с, где с — скорость света, рассеялся на
покоившемся свободном электроне, в результате чего импульс фотона стал
равным P’ = 0,255 МэВ/с. Под каким углом рассеялся фотон и какая доля
энергии первичного фотона приходится на кинетическую энергию электрона
отдачи?

                                   Решение
    При столкновении фотона со свободным электроном (рис. 1.2.) выполняет-
ся формула (1.3). Запишем ее, выразив длины волн исходного λ и рассеянного
λ′ фотонов через импульсы с помощью формулы (1.1)
                              h h     h
                               − =        (1 − cos θ ) .
                             P P′ moc
                                        ⎛ P − P′ ⎞
    После преобразований получим moc ⎜           ⎟ = 1 − cos θ .
                                        ⎝ P ⋅ P′ ⎠
                        ⎡        ⎛ P − P ' ⎞⎤
    Тогда θ = ± arccos ⎢1 − moc ⎜           ⎟ ⎥ . Для облегчения расчетов представим
                        ⎣        ⎝ P ⋅ P ' ⎠⎦
эту формулу в виде
                       ⎡          ⎛ Pc − P ' c ⎞ ⎤
          θ = ± arccos ⎢1 − moc 2 ⎜              ⎟⎥ ,
                       ⎣          ⎝  Pc ⋅ P ' c  ⎠ ⎦
       2
где moc = 0,511 МэВ — энергия покоя электрона, по условию задачи Pc = 1,02
МэВ, P’c = 0,255 МэВ. После подстановки этих значений получаем
                       ⎡           ⎛ 1,02 − 0,255 ⎞ ⎤                            2
          θ = ± arccos ⎢1 − 0,511⎜                    ⎟ ⎥ ≈ ± arccos ( −0,5 ) = ± π .
                       ⎣           ⎝ 1,02 ⋅ 0, 255 ⎠ ⎦                           3
     Для ответа на второй вопрос задачи используем закон сохранения энергии
                                 Eф + moc2 = Eф′ + moc2 +T,
где T — кинетическая энергия электрона отдачи, Eф = Pc, Eф′ = P′c .

Страницы