Элементы квантовой механики. Кузнецов В.Л - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

ΔΔ
2
x
xp⋅≈
h
. Тогда Δ
2Δ
x
p
x
l
≈
=
hh
, Δ 0
y
p
≈
и Δ 0
z
p ≈ .
Для определения взаимосвязи неопределенности кинетической энергии ΔT
с неопределенностью импульса возьмем дифференциал от левой и правой час-
тей нерелятивистской формулы кинетической энергии T = p
2
/2m (считая, что
x
p
p≡ )
x
x
p
dp
dT
m
⋅
= .
В приближенных расчетах можно считать, что
Δ
Δ
x
p
p
T
m
⋅
= .
Тогда относительную неопределенность кинетической энергии можно за-
писать в виде
2
Δ 22Δ
Δ
x
xx
x
x
p
pm p
T
η
Tp
mp
⋅
⋅
== =
⋅
.
После подстановки в эту формулу значения неопределенности импульса
получим
2
x
η
p
l
≈
⋅
h
.
Отсюда можно определить импульс
2
x
p
η l
≈
⋅
h
и искомое значение кинети-
ческой энергии
22 2
22 22
42
2
2
x
p
T
m
m η lmη l
=≈ =
⋅
⋅⋅⋅
hh
.
Где масса электрона
31
9,1 10 кгm
−
=⋅ . Произведем расчет:
34 2
19
31 4 18
2(1,05510 )
Дж 3, 9 10 Дж 2, 4 эВ
9,1 10 10 625 10
T
−
−
−− −
⋅⋅
≈≈⋅≈
⋅⋅⋅⋅
.
Ответ:
T
≈
2,4 эВ.
Пример 4
После дифракции на щели электро-
ны вызывают на экране Э сцинтилля-
ционные вспышки (рис. 2.1). Интен-
сивность вспышек на небольшой пло-
щади экрана вблизи точки А составля-
ет 10 с
–1
, а на такой же площади
вблизи точки В — 40 с
–1
. Чему равно
отношение волновых функций элек-
тронов в этих точках.
e
e А Э
e
e В
e
e
Рис. 2.1. 
                       h                 h      h
           Δx ⋅ Δp x ≈   . Тогда Δpx ≈         = , Δp y ≈ 0 и Δpz ≈ 0 .
                       2               2Δx l
     Для определения взаимосвязи неопределенности кинетической энергии ΔT
с неопределенностью импульса возьмем дифференциал от левой и правой час-
тей нерелятивистской формулы кинетической энергии T = p2/2m (считая, что
 p ≡ px )
                                        p ⋅ dpx
                                   dT = x         .
                                            m
     В приближенных расчетах можно считать, что
                                        p ⋅ Δp x
                                  ΔT = x          .
                                            m
     Тогда относительную неопределенность кинетической энергии можно за-
писать в виде
                                ΔT px ⋅ Δpx ⋅ 2m 2Δpx
                            η=    =                 =          .
                                T      m ⋅ px 2         px
     После подстановки в эту формулу значения неопределенности импульса
               2h
получим η ≈          .
              px ⋅ l
                                                 2h
     Отсюда можно определить импульс px ≈              и искомое значение кинети-
                                                 η⋅l
ческой энергии
                               p2     4h 2            2h 2
                           T= x ≈               =                .
                               2m 2m ⋅ η 2 ⋅ l 2 m ⋅ η 2 ⋅ l 2
    Где масса электрона m = 9,1 ⋅ 10−31 кг . Произведем расчет:
                          2 ⋅ (1,055 ⋅ 10−34 ) 2
              T≈            −31     −4           −18
                                                     Дж ≈ 3,9 ⋅ 10−19 Дж ≈ 2,4 эВ .
                   9,1 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 625 ⋅ 10

    Ответ: T ≈ 2,4 эВ.



    Пример 4
   После дифракции на щели электро-
ны вызывают на экране Э сцинтилля-              e
ционные вспышки (рис. 2.1). Интен-              e                             А       Э
сивность вспышек на небольшой пло-              e
щади экрана вблизи точки А составля-            e                             В
ет 10 с–1, а на такой же площади                e
вблизи точки В — 40 с–1. Чему равно             e
отношение волновых функций элек-
тронов в этих точках.                                         Рис. 2.1.

Страницы