Элементы квантовой механики. Кузнецов В.Л - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Тогда
32 5
( ) sin cos sin sin
22
ππA π A π
ψ xA x x x x
ll l l
=⋅ ⋅ = + .
Анализ этого выражения показывает, что
ψ
(x) является суперпозицией двух
стационарных состояний (собственных функций
) электрона в потенциальной
яме с квантовыми числами n =1 и n = 5. На рис. 2.3.
приведен график
ψ
(x) по-
лученный сложением соответствующих графиков
ψ
1
(x) и
ψ
5
(x).
Рис. 2.3.
Для определения постоянной А воспользуемся
условием нормировки
2
2
0
5
sin sin 1
4
l
A ππ
x
xdx
ll
⎛⎞
+
=
⎜⎟
⎝⎠
∫
.
Сделаем преобразования
2
22
00 0
55
sin 2 sin sin sin 1
4
ll l
A πππ π
xdx x xdx xdx
lll l
⎡⎤
⎛⎞ ⎛⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⋅+ ⋅ ⋅+ ⋅ =
⎢⎥
⎜⎟ ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝⎠ ⎝⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎢⎥
⎣⎦
∫∫ ∫
.
При интегрировании используем тригонометрические равенства
2sin
2
α
= 1– cos2
α
и 2sin
α
.
sin
β
= cos(
α
–
β
) – cos(
α
+
β
).
Тогда
2
0
00
121
sin 1 cos
222
ll
l
ππl
xdx xdx x
ll
⎛⎞
⋅
=− ==
⎜⎟
⎝⎠
∫∫
,
000
546
2sin sin cos cos 0
lll
ππ π π
xxdx xdx xdx
ll l l
⋅⋅= ⋅− ⋅=
∫∫∫
, 
                               3π        2π   A     π    A 5π
                Тогда ψ ( x) = A ⋅ sin
                                  x ⋅ cos x = sin x + sin x .
                                l         l   2     l    2    l
    Анализ этого выражения показывает, что ψ(x) является суперпозицией двух
стационарных состояний (собственных функций) электрона в потенциальной
яме с квантовыми числами n =1 и n = 5. На рис. 2.3. приведен график ψ(x) по-
лученный сложением соответствующих графиков ψ1(x) и ψ5(x).




                                   Рис. 2.3.
    Для определения постоянной А воспользуемся условием нормировки
                                   l                    2
                               A2 ⎛ π               5π ⎞
                                   ∫
                                4 0⎝
                                     ⎜ sin x + sin x ⎟ dx = 1 .
                                          l          l ⎠
    Сделаем преобразования
      A2 ⎡                                                                     ⎤
           l                   l                              l
                 2⎛π ⎞               ⎛π ⎞        ⎛ 5π ⎞            2 ⎛ 5π ⎞
         ⎢ ∫ sin ⎜ x ⎟ ⋅ dx + 2∫ sin ⎜ x ⎟ ⋅ sin ⎜ x ⎟ ⋅ dx + ∫ sin ⎜ x ⎟ ⋅ dx ⎥ = 1.
      4 ⎢⎣ 0       ⎝l ⎠        0     ⎝l ⎠        ⎝ l ⎠        0      ⎝ l ⎠     ⎥⎦
    При интегрировании используем тригонометрические равенства
                2sin2α = 1– cos2α и 2sinα . sinβ = cos(α–β) – cos(α+β).
              l                l
                   2π        1 ⎛          2π ⎞        1 l l
    Тогда ∫ sin x ⋅ dx = ∫ ⎜1 − cos x ⎟ dx = x 0 = ,
             0
                     l       2 0⎝           l ⎠       2      2
                  l                        l                l
                       π       5π             4π             6π
                2 ∫ sin x ⋅ sin x ⋅ dx = ∫ cos x ⋅ dx − ∫ cos x ⋅ dx = 0 ,
                  0
                       l        l        0
                                               l        0
                                                              l

Страницы