Элементы квантовой механики. Кузнецов В.Л - 18 стр.

                        l                              l
                              5π         1 ⎛          10π ⎞        1 l l
                        ∫ sin l x ⋅ dx = 2 ∫ ⎜⎝1 − cos l x ⎟⎠ dx = 2 x 0 = 2 .
                                2

                        0                  0
                                 A2 ⎡ l       l⎤               2
       После вычислений получаем        + 0 +      = 1 или A =    .
                                 4 ⎢⎣ 2       2 ⎥⎦              l

    Вероятность обнаружения электрона в средней четверти ямы определяется
интегрированием плотности вероятности (2.3) в заданных пределах от x1 = 3l/8
до x2 = 5l/8
                             x                   2
                            1 2⎛ π          5π ⎞
                       W = ∫ ⎜ sin x + sin x ⎟ dx =
                            lx⎝    l         l ⎠
                              1
              ⎡x              x2                    x2                ⎤
           1⎢ 2 2 π               π       5π              2 5π
          = ∫ sin x ⋅ dx + 2 ∫ sin x ⋅ sin x ⋅ dx + ∫ sin      x ⋅ dx ⎥ .
            l ⎢x    l         x1   l       l        x1       l        ⎥
              ⎣ 1                                                     ⎦
    После соответствующих преобразований (см. выше) и вычислений полу-
чим W = 0,57. Этот результат качественно подтверждает график плотности ве-
роятности обнаружения электрона ρ =⏐ψ⏐2, приведенный на рис. 2.3. Макси-
мум этой функции приходится на середину ямы.


    Пример 7
    Электрон находится в основном состоянии в одномерной потенциальной
яме с абсолютно непроницаемыми стенками (0 ≤ x ≤ l). Найти среднее квад-
ратичное отклонение соответствующей проекции импульса частицы от
среднего значения.

                                                           Решение
                                                                                      +∞

                                                                                      ∫ ψ1 pˆ xψ1 ⋅ dx ,
                                                                                               ∗
       Определим < px>ср по формуле (2.6)                               px   ср
                                                                                  =                        где
                                                                                      −∞
         2      π                        ∂
ψ1 =       ⋅ sin x ,        p̂ x = −ih      .
         l      l                        ∂x
                                                   l
                                                           2    π ⎛     ∂ ⎞ 2     π
                  Получим               px        =∫         sin x ⎜ −ih ⎟     sin x ⋅ dx =
                                             ср
                                                   0
                                                           l    l ⎝     ∂x ⎠ l    l
                                    l                                                      l
                          2ih      π      ⎛ π ⎞         2ih 2 ⎛ π ⎞
                       =−
                           l 0∫ sin x ⋅ d ⎜ sin x ⎟ = −
                                   l      ⎝    l ⎠       l
                                                           sin ⎜ x ⎟ = 0 .
                                                               ⎝ l ⎠0
    Этот результат можно было ожидать из соображений симметрии: движение
электрона равновероятно вправо и влево, что приводит к нулевой средней про-
екции импульса. Для определения среднего квадратичного отклонения исполь-
зуем формулу (2.7) с учетом того, что < px>ср= 0