ВУЗ:
Составители:
Решение
Доля электронов, прошедших потенциальный барьер, это отношение числа
частиц, прошедших барьер за интервал времени
Δ
t , к числу частиц, упавших на
барьер за то же время. Поэтому мы сразу можем воспользоваться формулами
(3.2). Учитывая, что E = T = 2U
0
, получим
00
2
000
42
0,97
(2 2 )
UU
D
UUU
⋅⋅
=≈
+−
.
Поскольку до и после ступеньки потенциальная энергия не зависит от ко-
ординаты, то можно сразу записать вид волновой функции до и после скачка
потенциала. В области 1 волновая функция
ψ
1
(x) соответствует падающей и от-
раженной волнам де Бройля, а в области 2
ψ
2
(x) соответствует прошедшей
волне де Бройля:
11
11 1
ik x
ik x
ψ Ae Be
−
=+ , где
1
1
2kmT=
h
;
2
22
ik x
ψ Ae= , где
()
20
11
2kmEUmT=−=
hh
.
Из условия непрерывности
ψ
-функции и ее производной на границе (т.е.
при x = 0) получим
12
(0)
(0)
ψψ
ψψ
12
(0) =
⎧
⎨
′′
(0) =
⎩
или
11 2
11 1 22
()
AB A
kA B kA
+=
⎧
⎨
−=
⎩
.
Разделим все члены этих уравнений на A
1
и введем обозначения
1
1
1
B
b
A
= и
2
2
1
A
a
A
=
Получим
12
1122
1
(1 )
ba
kbka
+=
⎧
⎨
−=
⎩
.
Решая эту систему уравнений, находим
1
2
12
22222
1,17,
221
kT
a
kk
TT
== =≈
+
++
12
1
12
221
0,17.
221
kk T T
b
kk
TT
−−−
== =≈
+
++
Тогда
11
11 1
0,17
ik x
ik x
ψ Ae Ae
−
=+ ,
2
21
1,17
ik x
ψ Ae= .
Соответственно плотности вероятности обнаружения электронов до и по-
сле ступеньки равны
(
)
(
)
()
()
1111
11
2
2
11
22
11
22
0,17 0,17
1 0,03 0,17 1,03 0,34cos 2 .
ik x ik x ik x ik x
ikx ikx
ψ Ae e e e
A
ee A kx
−−
−
=+ ⋅+ ≈
⎡⎤
≈++ + ≈ +
⎡
⎤
⎣
⎦
⎢⎥
⎣⎦
22
2
22
21 1
1, 37 1, 37
ik x ik x
ψ Ae e A
−
≈⋅=
.
Решение
Доля электронов, прошедших потенциальный барьер, это отношение числа
частиц, прошедших барьер за интервал времени Δt , к числу частиц, упавших на
барьер за то же время. Поэтому мы сразу можем воспользоваться формулами
(3.2). Учитывая, что E = T = 2U0 , получим
4 ⋅ 2U 0 ⋅ U 0
D= ≈ 0,97 .
( 2U 0 + 2U 0 − U 0 ) 2
Поскольку до и после ступеньки потенциальная энергия не зависит от ко-
ординаты, то можно сразу записать вид волновой функции до и после скачка
потенциала. В области 1 волновая функция ψ1(x) соответствует падающей и от-
раженной волнам де Бройля, а в области 2 ψ2(x) соответствует прошедшей
волне де Бройля:
ik x −ik x 1
ψ1 = A1e 1 + B1e 1 , где k1 = 2mT ;
h
ik x 1 1
ψ 2 = A2e 2 , где k2 = 2m ( E − U 0 ) = mT .
h h
Из условия непрерывности ψ-функции и ее производной на границе (т.е.
при x = 0) получим
⎧ψ1(0) = ψ 2 (0) ⎧ A1 + B1 = A2
⎨ или ⎨ .
⎩ψ1′ (0) = ψ 2′ (0) ⎩k1 ( A1 − B1 ) = k2 A2
Разделим все члены этих уравнений на A1 и введем обозначения
B A
b1 = 1 и a2 = 2
A1 A1
⎧ 1 + b1 = a2
Получим ⎨ .
k
⎩ 1 (1 − b1 ) = k a
2 2
Решая эту систему уравнений, находим
2k1 2 2T 2 2
a2 = = = ≈ 1,17,
k1 + k2 2T + T 2 +1
k1 − k2 2T − T 2 −1
b1 = = = ≈ 0,17.
k1 + k2 2T + T 2 +1
ik x −ik x ik x
Тогда ψ1 = A1e 1 + 0,17 A1e 1 , ψ 2 = 1,17 A1e 2 .
Соответственно плотности вероятности обнаружения электронов до и по-
сле ступеньки равны
2
ψ1 = A12 e ( ik1x
+ 0,17e
−ik1x
) ⋅ (e −ik1x
+ 0,17e
ik1x
)≈
≈ A12 ⎢⎡1 + 0,03 + 0,17 e
⎣ ( i 2k1x
+e
−i 2k1x ⎤
)⎥⎦ ≈ A ⎡⎣1,03 + 0,34cos ( 2kx )⎤⎦ .
2
1
2 ik2 x −ik 2 x
ψ 2 ≈ 1,37 A12e ⋅e = 1,37 A12 .
