ВУЗ:
Составители:
()
2
2
00
2
ˆ
() sin sin
ll
x
ππ
δp ψ p ψ dx x i x dx
x
ll x l
2
11
∂
⎛⎞
==−⋅=
⎜⎟
∂
⎝⎠
∫∫
h
222
2
23
00
22
sin sin sin
ll
ππππ
x
xdx xdx
ll l l
xl
∂
⎛⎞
=− = ⋅ =
⎜⎟
∂
⎝⎠
∫∫
hh
22 22
32
2
2
π l π
ll
=⋅=
hh
.
Тогда среднее квадратичное отклонение
π
δp
x
l
=
h
.
Пример 8
Электрон, находящийся в потенциальной яме кубической формы с абсо-
лютно непроницаемыми стенками, перешел из возбужденного состояния с
квантовыми числами {4,2,1} на соседнее с меньшей энергией. Сторона куба l =
1 нм. Определить выделившуюся при этом энергию и кратностью вырождения
нового состояния.
Решение
Первоначальное состояние имеет энергию (см. формулу (2.9))
22 22
222
22
4,2,1
(4 2 1 ) 21
22
ππ
E
ml ml
=++=⋅
hh
.
Соседним состоянием с меньшей энергией может быть состояние, для ко-
торого сумма квадратов квантовых чисел равна 20, 19, 18 и меньше. Перебирая
возможные числа, определяем, что ближайшими являются 3 состояния с кван-
товыми числами {1,3,3}, {3,1,3} и {3,3,1}, имеющие одинаковую энергию
22 22
222
22
1,3,3
(1 3 3 ) 19
22
ππ
E
ml ml
=++=⋅
hh
.
Следовательно, кратность вырождения нового состояния равна трем, а вы-
делившуюся при переходе энергию рассчитаем по формуле
22 2 2 68
23118
19
3,14 1,05 10 2
Δ (21 19) Дж
229,11010
1, 2 10 Дж 0,75 эВ.
π
E
ml
−
−−
−
⋅⋅⋅
=−= ≈
⋅⋅ ⋅
≈⋅ =
h
Пример 9
Определить долю электронов, прошедших потенциальную ступеньку вы-
сотой U
0
(рис. 3.1. ), считая, что все частицы до барьера имели одинаковую
кинетическую энергию T = 2U
0
. Найти качественный вид волновой функции и
функции плотности вероятности обнаружения электронов до и после барьера.
l l 2
2 2 π ⎛ ∂ ⎞ π
(δpx ) = ∫ ψ1 ( pˆ x ) ψ1dx = ∫ sin x ⎜ −ih ⎟ sin x ⋅ dx =
2
0
l0 l ⎝ ∂x ⎠ l
l l
2h π ∂2 ⎛ π ⎞ 2π 2 h 2 π
= − ∫ sin x 2 ⎜ sin x ⎟ dx = 3 ∫ sin 2 x ⋅ dx =
l 0 l ∂x ⎝ l ⎠ l 0
l
2π 2 h 2 l π 2 h 2
= 3 ⋅ = 2 .
l 2 l
πh
Тогда среднее квадратичное отклонение δp x = .
l
Пример 8
Электрон, находящийся в потенциальной яме кубической формы с абсо-
лютно непроницаемыми стенками, перешел из возбужденного состояния с
квантовыми числами {4,2,1} на соседнее с меньшей энергией. Сторона куба l =
1 нм. Определить выделившуюся при этом энергию и кратностью вырождения
нового состояния.
Решение
Первоначальное состояние имеет энергию (см. формулу (2.9))
π 2h2 2 2 2 π 2h2
E4,2,1 = (4 + 2 + 1 ) = ⋅ 21 .
2ml 2 2ml 2
Соседним состоянием с меньшей энергией может быть состояние, для ко-
торого сумма квадратов квантовых чисел равна 20, 19, 18 и меньше. Перебирая
возможные числа, определяем, что ближайшими являются 3 состояния с кван-
товыми числами {1,3,3}, {3,1,3} и {3,3,1}, имеющие одинаковую энергию
π 2h2 2 2 2 π 2h2
E1,3,3 = (1 + 3 + 3 ) = ⋅ 19 .
2ml 2 2ml 2
Следовательно, кратность вырождения нового состояния равна трем, а вы-
делившуюся при переходе энергию рассчитаем по формуле
π 2h2 3,142 ⋅ 1,052 ⋅ 10−68 ⋅ 2
ΔE = (21 − 19) = Дж ≈
2ml 2 2 ⋅ 9,1 ⋅ 10−31 ⋅ 10−18
≈ 1,2 ⋅ 10−19 Дж = 0,75 эВ.
Пример 9
Определить долю электронов, прошедших потенциальную ступеньку вы-
сотой U0 (рис. 3.1. ), считая, что все частицы до барьера имели одинаковую
кинетическую энергию T = 2U0 . Найти качественный вид волновой функции и
функции плотности вероятности обнаружения электронов до и после барьера.
