Разностные методы решения задач теплопроводности. Кузнецов Г.В - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

11
Рис. 3 наглядно демонстрирует, что используется
четырехточечная разностная схема – три точки берутся на новом
временном слое и одна со старого временного слоя.
Сформулированный выше способ аппроксимации производных
называется неявным потому, что поле температуры на новом временном
слое представлено неявно, т.е. для его определения необходимо решать
систему уравнений (5).
Полученную систему можно св
ести к наиболее общему виду:
i
n
ii
n
ii
n
ii
FTCTBTA =⋅+⋅−⋅
+
−
++
+
1
1
11
1
, (6)
где
. ,
2
,
22
n
iiiii
T
c
F
c
h
B
h
CA
τ
ρ
−=
τ
ρ
+
λ
⋅
=
λ
==
Такие уравнения называют трехточечными разностными
уравнениями второго порядка. Система (6) имеет трехдиагональную
структуру. В связи с тем, что рассматривается нестационарная задача,
систему (6) необходимо решать на каждом шаге по времени.
Предположим, что существуют такие наборы чисел
(
)
1,1 и −=βα Ni
ii
, при которых
i
n
ii
n
i
TT β+⋅α=
+
+
+ 1
1
1
, (7)
т.е. трехточечное уравнение второго порядка (6) преобразуется в
двухточечное уравнение первого порядка (7). Уменьшим в связи (7)
индекс на единицу и полученное выражение
1
1
1
1
1 −
+
−
+
−
β+⋅α=
i
n
ii
n
i
TT
подставим в данное уравнение (6):
iii
n
iii
n
ii
n
ii
FCTCTBTA =β⋅+⋅α⋅+⋅−⋅
−
+
−
++
+ 1
1
1
11
1
,
откуда получаем
.
1
1
1
1
1
1
−
−
+
+
−
+
α⋅−
−
β
⋅
+
α⋅−
=
iii
iii
n
i
iii
i
n
i
CB
FC
T
CB
A
T
Последнее равенство имеет вид (7) и будет точно с ним совпадать,
если при всех 1,,3,2 −=
N
i K выполняются соотношения
. ,
1
1
1 −
−
−
α⋅−
−
β
⋅
=β
α⋅−
=α
iii
iii
i
iii
i
i
CB
FC
CB
A
(8)
Для определения
ii
β
α и по (8) необходимо знать
11
и β
α
, которые
находятся из левого граничного условия.
Далее по формулам (7) последовательно находятся
1
2
1
2
1
1
,,,
++
−
+
−
nn
N
n
N
TTT K , при условии, что
1+n
N
T найдено из правого граничного
условия.

Страницы