Типовые расчеты для студентов экономических специальностей: Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Кузнецова С.Н - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

17
11.
Из несовместной системы линейных уравнений удалили одно уравне-
ние. Будет ли полученная система совместной?
12.
Могут ли быть эквивалентными две системы линейных уравнений с
одинаковым числом неизвестным, но разным числом уравнений?
13.
Может ли частное решение системы линейных уравнений совпадать с
ее общим решением?
14.
Может ли однородная система линейных уравнений иметь ровно одно
решение? Ровно два?
Тема 3. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
Задание 4.
В этом задании даны векторы
,,pqr
r
rr
и вектор
x
r
.
Необходи-
мо:
4.1 выяснить, образуют ли векторы
,,pqr
r
rr
базис;
4.2 если образуют, то разложить вектор
x
r
по этому базису.
Дано.
0
5
1
p
⎛⎞
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
r
,
3
2
1
q
⎛⎞
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
−
⎝⎠
r
,
1
1
0
r
−
⎛⎞
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
r
,
15
5
6
x
−
⎛⎞
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
r
.
Решение.
1.
Любые три линейно независимых вектора пространства образуют
базис. Для линейной независимости векторов
,,pqr
r
rr
, необходимо и доста-
точно, чтобы равенство
123
0pqr
λλλ
+
+=
r
r
rr
выполнялось только при
0, 1,2,3
i
i
==
. Запишем это равенство в виде
12 3
03 10
52 10
1100
λλ λ
−
⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞⎛⎞
⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟
++=
⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟
−
⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠⎝⎠
.
Оно эквивалентно системе уравнений
23
123
12
3 0
52 0
0
λ
λ
λλλ
λλ
−=
⎧
⎪
++=
⎨
⎪
−=
⎩
.
Преобразуем матрицу системы (см. Задание 2.3)
03 1 1 10 1 10
5 2 1~0 7 1~0 7 1
110 03 1 0100
−− −
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
−−
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
. Ранг
(
)
3rA=
и совпадает с
числом неизвестных, значит, система имеет единственное решение. По-
скольку
123
0
λ
λλ
===
является решением системы, то других решений

Страницы