Составители:
Рубрика:
21
квадратичная форма будет иметь вид
1
2
3
0 0 200
00060
00 003
A
λ
λ
λ
−
⎛⎞
⎛⎞
⎜⎟⎜⎟
′
==
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
, а са-
ма квадратичная форма канонический вид
(
)
(
)
(
)
2
22
123
263
x
xx
′
′′
−+ +
.
Линейное преобразование, которое приводит квадратичную форму к
каноническому виду, задается матрицей перехода к ортонормированному
базису из собственных векторов
T
A
TAT
′
=
. В нашем слу-
чае
11 1
26 3
21
63
111
263
0T
⎛⎞
−
⎜⎟
=−
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
. Для «правой» системы координат det 1T = .
Ответ.
(
)
(
)
(
)
2
22
123
263
x
xx
′′′
−+ +
.
Пример 2. Квадратичная форма
222
123121323
17 14 14 4 4 8
x
x x xx xx xx++− − −
.
Решение.
Матрица этой квадратичной формы имеет вид
17 2 2
214 4
2414
A
−−
⎛⎞
⎜⎟
=− −
⎜⎟
⎜⎟
−−
⎝⎠
.
Как и в предыдущем примере найдем ее собственные числа и собственные
векторы (см. Задание 5.1, 5.2).
1
9
λ
=
:
1
2
2
c
ec
c
⎛⎞
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
r
, нормируем
222
1
443ecccc
=
++=
r
,
1
3
1
2
1
3
1
2
3
e
e
e
⎛⎞
⎜⎟
′′
==
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
r
r
r
.
Если среди собственных чисел матрицы квадратичной формы есть
равные, то среди собственных векторов, соответствующих этому числу,
нужно выбрать набор линейно независимых векторов, составляющих фун-
даментальную систему решений. А затем провести их ортогонализацию.
Для
23
18
λ
λ
==
матрица однородной системы имеет вид
()
122
244~122
244
−−−
⎛⎞
⎜⎟
−−−
⎜⎟
⎜⎟
−−−
⎝⎠
, поэтому
12 1 2
11
22
22 2 2
0
0
cc c c
ec c
cc
−
−−−
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
==+
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
r
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 20
- 21
- 22
- 23
- 24
- …
- следующая ›
- последняя »
