ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
2
ВВЕДЕНИЕ.
В данном методическом пособии излагаются основные свойства функций с
ограниченным изменением и интеграла Стилтьеса .
Методическое пособие состоит из двух параграфов , разбитых на пункты . В
первом параграфе приводится определение функции с ограниченным изменени -
ем и рассматриваются свойства таких функций. Устанавливается критерий для
функций с ограниченным изменением, приводится пример непрерывной функ-
ции, имеющей неограниченное изменение. Второй параграф полностью посвя-
щен изучению свойств интеграла Стилтьеса .
1. Функции с ограниченным изменением и некоторые их свойства.
1.1. Определение функции с ограниченным изменением.
Пусть функция f(x) определена в некотором конечном промежутке [a; b], a <
b. Разобьем отрезок [a; b] произвольным образом на части точками деления
0121
......
iin
axxxxxxb
+
=<<<<<<=
и составим сумму вида
1
1
0
()().
n
ii
i
Vfxfx
−
+
=
=−
∑
(1.1.1)
Если множество всех сумм
V
вида (1.1.1) ограничено сверху, то говорят , что
функция
()
fx
в промежутке
[;]
ab
имеет ограниченное изменение (или ограничен-
ную вариацию). При этом точную верхнюю грань множества этих сумм называ-
ют полным изменением (или полной вариацией) функции в указанном проме-
жутке и обозначают символом
()
b
a
fx
V
. Таким образом ,
()sup{}
b
a
fxV
V
=
.
Это понятие применяют и в случае функции не ограниченного изменения.
Тогда по определению полагают, что полное изменение равно
+∞
. Очевидно,
что в обоих случаях можно так выбрать последовательность разбиений
n
τ
отрез-
ка
[;]
ab
, что числовая последовательность
{}
n
V
соответствующих этим разбиени -
ям сумм вида (1.1.1) будет иметь пределом
()
b
a
fx
V
.
Иногда ставится вопрос об ограниченности изменения функции f(x) в беско-
нечном промежутке. Рассмотрим, например, промежуток вида
[;)
a
∞
(в дальней-
шем изложении мы будем ограничиваться рассмотрением именно такого беско-
нечного промежутка).
Говорят , что функция f(x) имеет ограниченное изменение в промежутке
[;)
a
∞
, если она является функцией с ограниченным изменением на любом отрез-
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
ВВЕДЕНИЕ.
В данном методическом пособии излагаются основные свойства функций с
ограниченным изменением и интеграла Стилтьеса.
Методическое пособие состоит из двух параграфов, разбитых на пункты. В
первом параграфе приводится определение функции с ограниченным изменени-
ем и рассматриваются свойства таких функций. Устанавливается критерий для
функций с ограниченным изменением, приводится пример непрерывной функ-
ции, имеющей неограниченное изменение. Второй параграф полностью посвя-
щен изучению свойств интеграла Стилтьеса.
1. Функции с ограниченным изменением и некоторые их свойства.
1.1. Определение функции с ограниченным изменением.
Пусть функция f(x) определена в некотором конечном промежутке [a; b], a <
b. Разобьем отрезок [a; b] произвольным образом на части точками деления
a = x 0 < x1 < x 2 ... < x i < x i +1 <... < x n =b
и составим сумму вида
n −1
V =∑ f ( xi +1 ) − f ( xi ) . (1.1.1)
i =0
Если множество всех сумм V вида (1.1.1) ограничено сверху, то говорят, что
функция f ( x) в промежутке [a; b] имеет ограниченное изменение (или ограничен-
ную вариацию). При этом точную верхнюю грань множества этих сумм называ-
ют полным изменением (или полной вариацией) функции в указанном проме-
b b
жутке и обозначают символом V f ( x) . Таким образом, V f ( x) =sup{V } .
a a
Это понятие применяют и в случае функции не ограниченного изменения.
Тогда по определению полагают, что полное изменение равно +∞. Очевидно,
что в обоих случаях можно так выбрать последовательность разбиений τ n отрез-
ка [a; b] , что числовая последовательность {Vn } соответствующих этим разбиени-
b
ям сумм вида (1.1.1) будет иметь пределом V f ( x) .
a
Иногда ставится вопрос об ограниченности изменения функции f(x) в беско-
нечном промежутке. Рассмотрим, например, промежуток вида [a; ∞) (в дальней-
шем изложении мы будем ограничиваться рассмотрением именно такого беско-
нечного промежутка).
Говорят, что функция f(x) имеет ограниченное изменение в промежутке
[a; ∞) , если она является функцией с ограниченным изменением на любом отрез-
2
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
