ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
3
ке вида [a; A], a < A, и полные изменения
()
A
a
fx
V
ограничены в совокупности . При
этом полагают
()sup{()}
A
Aa
aa
fxfx
VV
∞
>
= .
Пример функции с ограниченным изменением. Пусть на отрезке [a; b] задана
монотонная функция f(x). Тогда для любого разбиения
0
{}
in
i
i
x
=
=
отрезка [a; b] имеем
11
11
00
()()(()())()()
nn
iiii
ii
Vfxfxfxfxfbfa
−−
++
==
=−=−=−
∑∑
.
Поэтому f(x) имеет ограниченное изменение на отрезке [a; b] и
()()()
b
a
fxfbfa
V
=−.
Пример функции, имеющей не ограниченное изменение. Пусть на отрезке [0;
1] задана функция f(x) вида
cos,01,
()
2
0,0.
xx
fx
x
x
π
<≤
=
=
Фиксируем произвольное
nN
∈
и выберем в качестве точек деления отрезка
[
]
0;1
точки
1111
0...1.
22132
nn
<<<<<<
−
Поскольку
111
()(1),()0,1,
2221
k
ffkn
kkk
=−=≤≤
−
то
11
1..
2
n
VV
n
==+++
.
Так как
lim
n
n
V
→∞
=∞
, то
1
0
()fx
V
=+∞
.
1.2.Классы функций с ограниченным изменением.
1. Если функция f(x), заданная на отрезке [a; b], такова, что этот отрезок мо-
жет быть разложен на конечное число частей
10
[;](0,1,...1;,)
kkm
aakmaaab
+
=−==
, в
каждой из которых f(x) монотонна, то функция f(x) имеет ограниченное измене-
ние на [a; b].
Доказательство. Разбив произвольным образом промежуток [a; b] на части ,
составим сумму
V
. Так как от присоединения каждой новой точки деления сум -
ма
V
может только увеличиться (докажите самостоятельно), то, присоединив к
точкам деления все точки
k
a
, о которых упоминалось выше, получим сумму
VV
≥
. Если выделить из суммы
V
те слагаемые, которые относятся к промежутку
1
[;]
kk
aa
+
, то сумма этих слагаемых будет равна
1
()()
kk
fafa
+
− (см . пример выше).
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
A
ке вида [a; A], a < A, и полные изменения V f ( x) ограничены в совокупности. При
a
∞ A
этом полагают V f ( x) =sup{V f ( x)}.
a A>a a
Пример функции с ограниченным изменением. Пусть на отрезке [a; b] задана
монотонная функция f(x). Тогда для любого разбиения {xi}i=n отрезка [a; b] имеем
i=0
n −1 n−1
V =∑ f ( xi +1 ) − f ( xi ) = ∑ ( f ( xi +1 ) − f ( xi )) = f (b) − f ( a) .
i =0 i =0
Поэтому f(x) имеет ограниченное изменение на отрезке [a; b] и
b
V f ( x) = f (b) − f (a ) .
a
Пример функции, имеющей не ограниченное изменение. Пусть на отрезке [0;
1] задана функция f(x) вида
� π
� x cos , 0 
