Функции с ограниченным изменением и интеграл Стилтьеса. Ларин А.А - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

5
Рассмотрим теперь случай бесконечного промежутка
[;)
a
∞
. По уже доказан-
ному для любого числа А > а функция
()
fx
имеет ограниченное изменение на
отрезке
[;]
aA
и выполняется неравенство
()()()
A
A
a
aa
V
ϕϕ
∞
≤≤
∫∫
.
Отсюда следует, что
()
fx
имеет ограниченную вариацию на
[;)
a
∞
и выполняется
неравенство
()()
a
a
fxtdt
V
ϕ
∞
∞
≤
∫
.
1.3. Свойства функций с ограниченным изменением.
Будем считать , что функции, рассматриваемые ниже, определены на конеч-
ном промежутке
[;]
ab
.
1. Всякая функция с ограниченным изменением ограничена.
Доказательство. Фиксируем произвольное число
(;]
xab
∈
. Тогда
()()()()(),
b
a
Vfxfafbfxfx
V
=−+−≤
откуда следует, что
()()()()()()()()().
b
a
fxfxfafafxfafafafx
V
=−+≤−+≤+
В силу произвольности
x
отсюда следует, что
()
fx
ограничена.
2. Сумма, разность и произведение двух функций
()
fx
и
()
gx
с ограниченным
изменением также являются функциями с ограниченным изменением.
Доказательство. Пусть
()()()
hxfxgx
=±
и пусть
{}
0
in
i
i
x
=
=
- произвольное разбие-
ние отрезка
[;]
ab
. Для любого индекса
i
имеем:
11111
11
()()(()())(()())(()())(()())
()()()().
iiiiiiiiii
iiii
hxhxfxgxfxgxfxfxgxgx
fxfxgxgx
+++++
++
−=±−±=−±−≤
≤−+−
Поэтому
111
111
000
()()()()()()()().
nnn
bb
iiiiii
aa
iii
hxhxfxfxgxgxfxgx
VV
−−−
+++
===
−≤−+−≤+
∑∑∑
Отсюда следует, что
()
hx
имеет ограниченную вариацию на отрезке
[;]
ab
и
()()()
bbb
aaa
hxfxgx
VVV
≤+
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
                                          Рассмотрим теперь случай бесконечного промежутка [a; ∞) . По уже доказан-
                                       ному для любого числа А > а функция f ( x) имеет ограниченное изменение на
                                       отрезке [a; A] и выполняется неравенство
                                                                                         A             A                  ∞

                                                                                        V f ( x) ≤∫ϕ(t ) dt ≤∫ϕ(t ) dt .
                                                                                         a             a                  a

                                       Отсюда следует, что f ( x) имеет ограниченную вариацию на [a; ∞) и выполняется
                                       неравенство
                                                                                                  ∞            ∞
                                                                                                  V f ( x) ≤∫ ϕ(t ) dt .
                                                                                                  a            a


                                          1.3. Свойства функций с ограниченным изменением.

                                          Будем считать, что функции, рассматриваемые ниже, определены на конеч-
                                       ном промежутке [a; b] .

                                          1. Всякая функция с ограниченным изменением ограничена.
                                          Доказательство. Фиксируем произвольное число x ∈( a; b] . Тогда

                                                                                                                                     b
                                                                                             V = f (x) −f (a) + f (b) −f (x) ≤V f (x),
                                                                                                                                     a



                                       откуда следует, что

                                                                                                                                                      b
                                                                            f (x) = f (x) −f (a) +f (a) ≤ f (x) −f (a) + f (a) ≤ f (a) +V f (x).
                                                                                                                                                      a



                                       В силу произвольности x отсюда следует, что f ( x) ограничена.

                                          2. Сумма, разность и произведение двух функций f ( x) и g ( x) с ограниченным
                                       изменением также являются функциями с ограниченным изменением.
                                          Доказательство. Пусть h( x) = f ( x) ±g ( x) и пусть {xi }i =0 - произвольное разбие-
                                                                                                    i =n


                                       ние отрезка [a; b] . Для любого индекса i имеем:
                                             h( xi +1 ) −h( xi ) = ( f ( xi +1 ) ±g ( xi +1 )) −( f ( xi ) ±g ( xi )) = ( f ( xi +1 ) − f ( xi )) ±( g ( xi +1 ) −g ( xi )) ≤
                                             ≤ f ( xi +1 ) − f ( xi ) + g ( xi +1 ) −g ( xi ) .
                                       Поэтому
                                                    n −1                         n −1                              n −1                  b            b

                                                   ∑ h( x
                                                    i =0
                                                             i +1   ) −h( xi ) ≤∑ f ( xi +1 ) − f ( xi ) +∑ g ( xi +1 ) −g ( xi ) ≤V f ( x) +V g ( x).
                                                                                 i =0                              i =0                  a            a

                                       Отсюда следует, что h( x) имеет ограниченную вариацию на отрезке [a; b] и
                                                                                              b            b              b

                                                                                             V h( x) ≤V f ( x) +V g ( x)
                                                                                              a            a              a




                                                                                                               5




PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Страницы