Функции с ограниченным изменением и интеграл Стилтьеса. Ларин А.А - 4 стр.

                                                    m −1
                                       ПоэтомуV =∑ f (ak +1 ) − f (ak ) . Так как произвольная сумма V не превосходит это-
                                                    k =0

                                       го числа, то оно и будет полным изменением функции.

                                          2. Пусть функция f(x) удовлетворяет на отрезке [a; b] условию Липшица, т. е.
                                       существует постоянная L >0 такая, что для любых точек x, y из отрезка [a; b] вы-
                                       полняется неравенство
                                                                       f ( y ) − f ( x) ≤L y −x .
                                          Тогда функция f(x) имеет ограниченную вариацию и справедливо неравенст-
                                       во
                                                                                               b

                                                                                              V f ( x) ≤L(b −a) .
                                                                                               a

                                          Доказательство. Доказательство этого утверждения следует из неравенства
                                                                          n −1                                n −1
                                                                     V =∑ f ( xi +1 ) − f ( xi ) ≤L∑ ( xi +1 −xi ) =L(b −a ).
                                                                          i =0                                i =0



                                           3. Пусть функция f(x) имеет ограниченную производную на отрезке
                                       [a; b], т. е. пусть f ' ( x) ≤L для любого x ∈[a; b] , L = const. Тогда f(x) имеет огра-
                                       ниченную вариацию на промежутке [a; b].
                                           Доказательство.Достаточно показать, что функция f(x) удовлетворяет усло-
                                       вию Липшица. Пусть x и y – произвольные точки отрезка [a; b]. По теореме Ла-
                                       гранжа имеем:
                                                                     f ( y ) − f ( x ) = f '( x +θ ( y −x ))( y −x ),θ ∈(0;1)
                                       Поэтому f ( y ) − f ( x) ≤L y −x , т. е. f(x) удовлетворяет условию Липшица.
                                           4. Пусть функция f(x) в конечном промежутке [a; b] (в бесконечном проме-
                                       жутке [a; ∞ ))       представима в виде интеграла с переменным верхним пределом
                                                                                                              x
                                                                                     f ( x ) =C +∫ϕ (t ) dt ,
                                                                                                              a

                                       где ϕ(t) абсолютно интегрируема в рассматриваемом промежутке. Тогда f ( x)
                                       имеет в этом промежутке ограниченное изменение, при этом
                                                                                          b               b

                                                                                         V f ( x) ≤∫ϕ (t ) dt
                                                                                          a               a

                                                                                                          ∞
                                                                                     �    ∞                �
                                                                                     � V f ( x) ≤∫ ϕ (t ) dt�            .
                                                                                      � a        a           �
                                           Доказательство. Рассмотрим сначала конечный промежуток [a; b] . Для любого
                                       его разбиения имеем:
                                                               n−1                            n−1 xi +1              n−1 xi +1   b

                                                           V =∑ f (xi+1 ) −f (xi ) =∑ ∫ϕ(t)dt ≤∑ ∫ϕ(t) dt =∫ϕ(t) dt.
                                                               i=0                            i =0 xi                i =0 xi     a

                                       Отсюда следует, что функция f ( x) имеет ограниченное изменение и что
                                                                                          b               b

                                                                                         V f ( x) ≤∫ϕ(t ) dt .
                                                                                          a               a


                                                                                                          4




PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com