Функции с ограниченным изменением и интеграл Стилтьеса. Ларин А.А - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

6
Пусть теперь
()()()
hxfxgx
=
и пусть
{}
0
in
i
i
x
=
=
- произвольное разбиение проме-
жутка
[;]
. Пусть , далее, числа
K
и
L
таковы , что для любого
[;]
xab
∈
выполня-
ются неравенства (),()
fxKgxL
≤≤
(см . свойство 1). Для любого индекса
i
имеем:
()
111
1111
111
11
()()()()()()
()()()()()()()()
()()()()(()())
()()()().
iiiiii
iiiiiiii
iiiiii
iiii
hxhxfxgxfxgx
fxgxfxgxfxgxfxgx
fxgxgxgxfxfx
KgxgxLfxfx
+++
++++
+++
++
−=−=
=−+−=
=−+−≤
≤−+−
Поэтому
111
111
000
()()()()()()()().
nnn
bb
iiiiii
aa
iii
hxhxKgxgxLfxfxKgxLfx
VV
−−−
+++
===
−≤−+−≤⋅+⋅
∑∑∑
Отсюда следует, что
()
hx
имеет ограниченную вариацию и что
()()().
bbb
aaa
hxKgxLfx
VVV
≤+
3. Если
()
fx
и
()
gx
есть функции с ограниченным изменением и , кроме того ,
()0
gx δ
≥>
для любого
[;]
xab
∈
, то и частное
()
()
fx
gx
есть функция с ограни -
ченным изменением.
Доказательство. Достаточно показать , что функция
()1/()
hxgx
=
есть функция
с ограниченным изменением. Пусть
{}
0
in
i
i
x
=
=
- произвольное разбиение отрезка
[;]
. Для любого индекса
i
верно неравенство
11
1
2
11
()()()()
11
()()
()()()()
iiii
ii
iiii
gxgxgxgx
hxhx
gxgxgxgx δ
++
+
++
−−
−=−=≤
,
поэтому
11
11
22
00
11
()()()()().
nn
b
iiii
a
ii
hxhxgxgxgx
V
δδ
−−
++
==
−≤−≤
∑∑
Отсюда следует, что функция
()
hx
имеет ограниченное изменение.
4. Пусть функция
()
fx
определена на отрезке
[;]
и
(;)
cab
∈
. Если
()
fx
имеет
ограниченное изменение на отрезке
[;]
, то она имеет ограниченное изменение
и в каждом из промежутков
[;]
и
[;]
cb
, и обратно. При этом
()()()
bcb
aac
fxfxfx
VVV
=+.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
                                          Пусть теперь h( x) = f ( x ) g ( x ) и пусть {xi }i=0 - произвольное разбиение проме-
                                                                                                                      i =n


                                       жутка [a; b] . Пусть, далее, числа K и L таковы, что для любого x ∈[a; b] выполня-
                                       ются неравенства f ( x) ≤K , g ( x) ≤L (см. свойство 1). Для любого индекса i имеем:

                                                                      h( xi +1 ) −h( xi ) = f ( xi +1 ) g ( xi +1 ) − f ( xi ) g ( xi ) =
                                                                  = f ( xi +1 ) g ( xi +1 ) − f ( xi +1 ) g ( xi ) + f ( xi +1 ) g ( xi ) − f ( xi ) g ( xi ) =
                                                                  = f ( xi +1 ) ( g ( xi +1 ) −g ( xi ) ) +g ( xi )( f ( xi +1 ) − f ( xi )) ≤
                                                                  ≤K g ( xi +1 ) −g ( xi ) +L f ( xi +1 ) − f ( xi ) .

                                        Поэтому
                                                  n −1                                  n−1                              n −1                                    b   b

                                                  ∑ h( x
                                                  i =0
                                                         i +1   ) −h( xi ) ≤K ∑ g ( xi +1 ) −g ( xi ) +L∑ f ( xi +1 ) − f ( xi ) ≤K ⋅V g ( x) +L ⋅V f ( x).
                                                                                        i =0                             i =0                                    a   a



                                       Отсюда следует, что h( x) имеет ограниченную вариацию и что
                                                                                                b           b                     b

                                                                                               V h( x) ≤KV g ( x) +LV f ( x).
                                                                                                a           a                     a



                                             3. Если f ( x) и g ( x) есть функции с ограниченным изменением и, кроме того,
                                                                                                                                         f ( x)
                                                g ( x) ≥δ >0 для любого x ∈[a; b] , то и частное                                                есть функция с ограни-
                                                                                                                                         g ( x)
                                                ченным изменением.

                                            Доказательство. Достаточно показать, что функция h( x) =1/ g ( x) есть функция
                                       с ограниченным изменением. Пусть {xi }i=0 - произвольное разбиение отрезка
                                                                                i =n


                                       [a; b] . Для любого индекса i верно неравенство

                                                                                              1         1        g ( xi +1 ) −g ( xi )   g ( xi +1 ) −g ( xi )
                                                         h( xi +1 ) −h( xi ) =                       −         =                       ≤                       ,
                                                                                          g ( xi +1 ) g ( xi )    g ( xi +1 ) g ( xi )            δ2

                                        поэтому
                                                                        n −1                               n −1
                                                                                                     1                                           1 b
                                                                        ∑ h( x
                                                                        i =0
                                                                                 i +1   ) −h( xi ) ≤ 2
                                                                                                    δ
                                                                                                           ∑ g(x
                                                                                                           i =0
                                                                                                                         i +1   ) −g ( xi ) ≤
                                                                                                                                                δ 2 Va
                                                                                                                                                       g ( x).


                                        Отсюда следует, что функция h( x) имеет ограниченное изменение.
                                           4. Пусть функция f ( x) определена на отрезке [a; b] и c ∈(a; b) . Если f ( x) имеет
                                        ограниченное изменение на отрезке [a; b] , то она имеет ограниченное изменение
                                        и в каждом из промежутков [a; c] и [c; b] , и обратно. При этом
                                         b           c            b

                                        V f ( x) =V f ( x) +V f ( x) .
                                         a          a             c




                                                                                                                  6




PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Страницы