Функции с ограниченным изменением и интеграл Стилтьеса. Ларин А.А - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

8
()()().
bcb
aac
fxfxfx
VVV
≤+ (1.3.4)
Из (1.3.2) и (1.3.4) следует, что
()()().
bcb
aac
fxfxfx
VVV
=+
5. Если на отрезке
[;]
ab
функция
()
fx
имеет ограниченное изменение, то при
[;]
∈
полное изменение
()
()()()0
x
a
gxftga
V
==
будет возрастающей (и ограни -
ченной) функцией от
x
.
Доказательство. Для любых двух точек
'
x
и
''
x
таких, что
'''
axxb
≤<≤
, верно
соотношение
x''x'x''
aax'
()()()
VVV
ftftft
=+,
из которого следует, что
x''
x'
('')(')()0.
V
gxgxft
−=≥
.
Замечание. Из свойства 5 следует, что в случае бесконечного промежутка
[;)
a
∞
полное изменение
()
a
fx
V
∞
эквивалентным образом можно определить соот-
ношением
()lim()
A
A
aa
fxfx
VV
∞
→+∞
=
С помощью этого соотношения доказанные в этом пункте свойства обобща-
ются и на случай бесконечного промежутка .
1.4. Критерий для функций с ограниченным изменением.
Пусть
()
fx
определена в конечном или бесконечном промежутке
X
(
[;]
Xab
=
или
[;)
Xa
=∞
).
Теорема. Для того , чтобы функция
()
fx
имела в промежутке
X
ограниченное
изменение, необходимо и достаточно, чтобы для нее в этом промежутке сущест -
вовала возрастающая и ограниченная функция
()
Fx
, такая, что в любой части
[';'']
xx
(''')
xx
<
промежутка
X
приращение функции
()
fx
по модулю не превос-
ходит соответствующего приращения функции
()
Fx
:
('')(')('')(').
fxfxFxFx
−≤−
Доказательство теоремы .
Необходимость . Пусть
()
fx
имеет в промежутке
X
ограниченное изменение.
Положим
()().
x
a
Fxft
V
=
Тогда
()
Fx
- возрастающая и ограниченная функция. Кроме того ,
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
                                                                             b                 c                   b

                                                                           V f ( x) ≤V f ( x) +V f ( x).
                                                                             a                 a                       c
                                                                                                                               (1.3.4)
                                          Из (1.3.2) и (1.3.4) следует, что
                                                                                 b                 c                       b

                                                                             V f ( x) =V f ( x) +V f ( x).
                                                                                 a                 a                       c

                                           5. Если на отрезке [a; b] функция f ( x) имеет ограниченное изменение, то при
                                                                                           x
                                        x ∈[a; b] полное изменение g ( x) =V f (t ) ( g (a) =0 ) будет возрастающей (и ограни-
                                                                                           a

                                       ченной) функцией от x .
                                          Доказательство. Для любых двух точек x ' и x '' таких, что a ≤x '

Страницы