Функции с ограниченным изменением и интеграл Стилтьеса. Ларин А.А - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

9
''
'
('')(')()('')(')
x
x
fxfxftFxFx
V
−≤=−,
так что
()
Fx
- функция с требуемыми свойствами .
Достаточность . Пусть существует функция
()
Fx
с указанными свойствами .
Пусть сначала
[;]
Xab
=
, и пусть
{}
in
i
i
x
=
=
- произвольное разбиение промежутка
[;]
ab
. Имеем:
()
11
11
00
()()()()()().
nn
iiii
ii
VfxfxFxFxFbFa
−−
++
==
=−≤−=−
∑∑
(1.4.1)
Из (1.4.1) следует, что
()
fx
имеет ограниченное изменение на
[;]
ab
. Пусть теперь
[;).
Xa
=∞
Фиксируем произвольное число
Aa
>
. Тогда, по уже доказанному, для
любого разбиения отрезка
[;]
aA
имеем
()()
VFAFa
≤−
. Поэтому
()()()lim()()
A
t
a
fxFAFaFtFa
V
→+∞
≤−≤−.
В силу произвольности
Aa
>
отсюда следует, что
()
fx
имеет ограниченное из-
менение на
[;)
a
∞
. Теорема доказана.
Замечание. Функцию
()
Fx
, удовлетворяющую условиям теоремы , называют
мажорантой для
()
fx
.
Приведем теперь еще одну форму критерия.
Теорема. Для того чтобы функция
()
fx
имела в промежутке
X
ограниченное
изменение, необходимо и достаточно, чтобы она в этом промежутке могла быть
представлена в виде разности двух возрастающих и ограниченных функций:
()()()
fxgxhx
=−
.
Доказательство теоремы .
Необходимость . Пусть
()
fx
имеет в
X
ограниченное изменение. Тогда для
()
fx
существует возрастающая и ограниченная мажоранта
()
Fx
. Положим
()(),()()()
gxFxhxFxfx
==−.
Тогда
()()()
fxgxhx
=−
.
Так как функция
()
fx
ограничена, то и
()
hx
ограничена. Убедимся, что
()
hx
-
возрастающая функция. Пусть ''',',''
xxxxX
>∈
. Тогда
('')(')('')('')((')('))('')(')(('')('))
('')(')('')(')0.
hxhxFxfxFxfxFxFxfxfx
FxFxfxfx
−=−−−=−−−≥
≥−−−≥
Так что
()
hx
- возрастающая функция.
Достаточность . Пусть
()
fx
представима в промежутке
X
в виде
()()()
fxgxhx
=−
, где
()
gx
и
()
hx
- возрастающие и ограниченные функции. Пока -
жем, что
()()()
Fxgxhx
=+
есть мажоранта для
()
fx
. Ясно, что
()
Fx
есть возрас-
тающая и ограниченная функция. Кроме того , если ''',',''
xxxxX
<∈
, то
('')(')(('')(''))((')('))(('')('))(('')(
'))
('')(')('')(')('')(')('')(')('')('),
fxfxgxhxgxhxgxgxhxhx
gxgxhxhxgxgxhxhxFxFx
−=−−−=−−−≤
≤−+−=−+−=−
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
                                                                                                       x ''
                                                                                f ( x '') − f ( x ') ≤V f (t ) =F ( x '') −F ( x ') ,
                                                                                                       x'

                                       так что F ( x) - функция с требуемыми свойствами.
                                            Достаточность. Пусть существует функция F ( x) с указанными свойствами.
                                       Пусть сначала X =[a; b] , и пусть {xi }i =0 - произвольное разбиение промежутка
                                                                              i =n


                                       [a; b] . Имеем:
                                                             n −1                         n −1
                                                       V =∑ f ( xi +1 ) − f ( xi ) ≤∑ ( F ( xi +1 ) −F ( xi ) ) =F (b) −F (a).                         (1.4.1)
                                                             i =0                         i =0

                                       Из (1.4.1) следует, что f ( x) имеет ограниченное изменение на [a; b] . Пусть теперь
                                       X =[a; ∞). Фиксируем произвольное число A >a . Тогда, по уже доказанному, для
                                       любого разбиения отрезка [a; A] имеем V ≤F ( A) −F (a ) . Поэтому
                                        A

                                       V f ( x) ≤F ( A) −F (a) ≤ lim F (t ) −F (a ) .
                                        a
                                                                     t → +∞

                                       В силу произвольности A >a отсюда следует, что f ( x) имеет ограниченное из-
                                       менение на [a; ∞) . Теорема доказана.
                                          Замечание. Функцию F ( x) , удовлетворяющую условиям теоремы, называют
                                       мажорантой для f ( x) .
                                          Приведем теперь еще одну форму критерия.
                                          Теорема. Для того чтобы функция f ( x) имела в промежутке X ограниченное
                                       изменение, необходимо и достаточно, чтобы она в этом промежутке могла быть
                                       представлена в виде разности двух возрастающих и ограниченных функций:

                                                                                                 f ( x) =g ( x) −h( x) .

                                                                         Доказательство теоремы.
                                             Необходимость. Пусть f ( x) имеет в X ограниченное изменение. Тогда для
                                        f ( x) существует возрастающая и ограниченная мажоранта F ( x) . Положим
                                                                        g ( x) =F ( x), h( x) =F ( x) − f ( x) .
                                       Тогда
                                                                                f ( x) =g ( x) −h( x) .
                                              Так как функция f ( x) ограничена, то и h( x) ограничена. Убедимся, что h( x) -
                                       возрастающая функция. Пусть x '' >x ', x ', x '' ∈ X . Тогда
                                                    h( x '') −h( x ') =F ( x '') − f ( x '') −( F ( x ') − f ( x ')) =F ( x '') −F ( x ') −( f ( x '') − f ( x ')) ≥
                                                    ≥F ( x '') −F ( x ') − f ( x '') − f ( x ') ≥0.
                                             Так что h( x) - возрастающая функция.
                                             Достаточность. Пусть f ( x) представима в промежутке X в виде
                                        f ( x) =g ( x) −h( x) , где g ( x) и h( x) - возрастающие и ограниченные функции. Пока-
                                       жем, что F ( x) =g ( x) +h( x) есть мажоранта для f ( x) . Ясно, что F ( x) есть возрас-
                                       тающая и ограниченная функция. Кроме того, если x '

Страницы