Функции с ограниченным изменением и интеграл Стилтьеса. Ларин А.А - 11 стр.

                                                                       b                         n −1

                                                                       ∫f ( x)dg ( x) =lim ∑ f (ξ )∆g ( x ) .
                                                                       a
                                                                                          d→ 0
                                                                                                 i =0
                                                                                                        i   i




                                              Если интеграл (2.1.2) существует, то говорят, что функция f ( x) на отрезке
                                       [a; b] интегрируема по функции g ( x) .
                                              Очевидно, интеграл Римана есть частный случай интеграла Стилтьеса: он
                                       отвечает случаю функции g ( x) =x .

                                             2.2. Общие условия существования интеграла Стилтьеса.

                                           Установим общие условия существования интеграла Стилтьеса в предпо-
                                       ложении, что функция g ( x) возрастает на отрезке [a; b] .
                                           В этом случае все ∆g ( xi ) ≥0 , и можно повторить конструкцию построения
                                       обычного интеграла Римана. Пусть
                                                           mi = inf f ( x), M i = sup f ( x), i =0,1,..., n −1 .
                                                                [ ;   ]
                                                                 xi xi +1             [ xi ; xi +1 ]

                                           Введем в рассмотрение суммы Дарбу-Стилтьеса
                                                                                      n −1
                                                                                  s =∑ mi ∆g ( xi ),
                                                                                      i =0
                                                                                      n −1
                                                                                  S =∑ M i ∆g ( xi ).
                                                                                      i =0

                                           Суммы s и S называют, соответственно, нижней и верхней суммами Дарбу-
                                       Стилтьеса.
                                           Очевидно, что для любого разбиения
                                                                            s ≤σ ≤S ,
                                       причем s и S являются точными гранями для стилтьесовых сумм σ . Легко дока-
                                       зывается, что суммы Дарбу-Стилтьеса обладают следующими свойствами.
                                           1. При измельчении разбиения нижняя сумма Дарбу-Стилтьеса может лишь
                                              возрасти, а верхняя сумма – лишь уменьшиться.
                                           2. Каждая нижняя сумма Дарбу-Стилтьеса не превосходит произвольной
                                              верхней суммы, хотя бы и отвечающей другому разбиению промежутка.
                                           Если ввести нижний и верхний интегралы Дарбу-Стилтьеса

                                                                             I* =sup{s}, I * =inf{S} ,

                                       то получим, что
                                                                                   s ≤I* ≤I * ≤S .
                                            С помощью сумм Дарбу-Стилтьеса в рассматриваемом случае легко уста-
                                       навливается следующий критерий существования интеграла Стилтьеса.
                                            Теорема. Для существования интеграла Стилтьеса необходимо и достаточ-
                                       но, чтобы выполнялось условие

                                                                                   lim(S −s) =0,
                                                                                   d→ 0

                                          или

                                                                                      11




PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com